Cirkel

En cirkel är mängden av alla punkter i planet som har samma avstånd till en given punkt, cirkelns medelpunkt. Cirkeln räknas också till kägelsnitten.

Beskrivning av cirkeln

Titta på figuren av en cirkel:

En cirkel betecknar vi vanligen med en liten bokstav, k eller l.

• Varje cirkel har en medelpunkt, som betecknas O.
• Alla punkter på cirkeln har samma avstånd till medelpunkten O. Det avståndet kallas cirkelns radie och betecknas r. I figuren är det sträckan AO.
• En sträcka som förbinder två olika punkter på cirkeln kallas korda. I figuren är det sträckan FG.
• En korda som går genom medelpunkten O kallas cirkelns diameter och betecknas d. Det gäller att 2r = d.

Vidare talar vi om cirkelns inre och yttre område. Det inre området är mängden av alla punkter vars avstånd till medelpunkten är mindre än cirkelns radie. Det yttre området består av alla punkter vars avstånd till medelpunkten är större än radien. Om vi slår ihop cirkeln och dess inre område får vi en cirkelskiva.

Omkrets och area

Vad är sambandet mellan cirkelns diameter och cirkelns omkrets? Hur många gånger större är omkretsen än diametern? Om du tar en cirkel och försöker mäta dess diameter och sedan omkretsen, kommer du fram till att det är ungefär tre gånger. Mer exakt 3,1415 gånger och ännu mer exakt π gånger.

Talet π (läses pi) är ett irrationellt tal, alltså ett tal med en oändlig decimalutveckling utan period. Om cirkelns diameter är ett givet heltal kan du därför aldrig bestämma omkretsen helt exakt. I praktiken räcker det dock gott att känna till ett närmevärde.

Formeln för cirkelns omkrets ser ut så här:

$$O=\pi d=2\pi r$$

Formeln för cirkelskivans area:

$$A=\pi r^2$$

Två cirklars inbördes lägen

• Koncentriska cirklar har gemensam medelpunkt O. Cirklar som inte har gemensam medelpunkt är icke-koncentriska. Sträckan som förbinder deras medelpunkter kallas centrallinje.

• Cirkeln k₁ ligger utanför k₂, cirklarna har ingen gemensam punkt.

• Cirkeln k₁ ligger utanför k₂, men de tangerar varandra i en punkt.

• Cirklarna skär varandra i två punkter.

• Cirkeln k₁ ligger innanför k₂ och de tangerar varandra i en punkt.

• Cirkeln k₁ ligger innanför k₂.

Cirkelbågar

Varje korda med ändpunkterna A och B delar cirkeln i två delar som kallas cirkelbågar. Varje punkt på cirkeln utom A och B är då en inre punkt på en av bågarna. Bågen betecknar vi till exempel AXB, där X är en inre punkt på bågen.

Om kordan samtidigt är en diameter delar den cirkeln i två lika stora bågar, som vi kallar halvcirklar. I annat fall delas cirkeln alltid i två olika stora bågar.

Medelpunktsvinkel

Vi har en cirkel k med medelpunkten O och en cirkelbåge AB. Då kallar vi vinkeln AOB medelpunktsvinkeln över bågen AB. Över den mindre bågen finns en konvex medelpunktsvinkel (vinkeln är mindre än 180°), över den större bågen finns en icke-konvex vinkel (större än 180°).

Cirkeln i figuren har två markerade bågar AB. Den större bågen hör ihop med vinkeln α, den mindre med β.

Randvinkel

Vi har en cirkel k med medelpunkten O och en cirkelbåge AB. Vi väljer dessutom en punkt V som inte ligger på den här bågen men som ligger på cirkeln. Då kallas vinkeln AVB en randvinkel.

I figuren finns två randvinklar, AV₁B och AV₂B. Lägg märke till att båda är lika stora — 60° — och att den storleken är hälften av medelpunktsvinkeln — 120°.