Κύκλος

Ο κύκλος είναι το σύνολο όλων των σημείων ενός επιπέδου που έχουν την ίδια απόσταση από ένα δοσμένο σημείο, το κέντρο του κύκλου. Ο κύκλος κατατάσσεται επίσης στις κωνικές τομές.

Περιγραφή του κύκλου

Κοίταξε την εικόνα του κύκλου:

Τον κύκλο τον συμβολίζουμε συνήθως με το μικρό γράμμα k ή l.

• Κάθε κύκλος έχει κέντρο, που συμβολίζεται O.
• Όλα τα σημεία του κύκλου έχουν την ίδια απόσταση από το κέντρο O, που λέγεται ακτίνα του κύκλου και τη συμβολίζουμε R. Στην εικόνα πρόκειται για το τμήμα AO.
• Το τμήμα που ενώνει δύο διαφορετικά σημεία του κύκλου ονομάζεται χορδή. Στην εικόνα το τμήμα FG.
• Η χορδή που περνά από το κέντρο O ονομάζεται διάμετρος του κύκλου και συμβολίζεται δ. Ισχύει ότι 2R = δ.

Μιλάμε επίσης για εσωτερικό και εξωτερικό του κύκλου. Το εσωτερικό είναι το σύνολο όλων των σημείων που έχουν απόσταση από το κέντρο μικρότερη από την ακτίνα του κύκλου. Το εξωτερικό είναι όλα τα σημεία που έχουν απόσταση από το κέντρο μεγαλύτερη από την ακτίνα. Αν ενώσουμε τον κύκλο και το εσωτερικό του κύκλου, παίρνουμε τον κυκλικό δίσκο.

Μήκος και εμβαδόν

Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στη διάμετρο του κύκλου και στο μήκος του κύκλου; Πόσες φορές είναι το μήκος του κύκλου μεγαλύτερο από τη διάμετρό του; Αν πάρεις έναν κυκλικό δίσκο και προσπαθήσεις να μετρήσεις τη διάμετρό του και μετά το μήκος του, θα δεις ότι είναι περίπου τρεις φορές. Πιο ακριβώς 3,1415 φορές και ακόμα πιο ακριβώς π φορές.

Ο αριθμός π (διαβάζεται πι) είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή ένας αριθμός με άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα χωρίς περίοδο. Αν λοιπόν έχεις δοσμένη διάμετρο κύκλου ως κάποιον ακέραιο αριθμό, το μήκος του δεν θα το βρεις ποτέ απόλυτα ακριβώς. Στην πρακτική ζωή όμως αρκεί με το παραπάνω να ξέρεις μια προσεγγιστική τιμή.

Ο τύπος για το μήκος του κύκλου είναι ο εξής:

$$L=\pi \delta =2\pi R$$

Ο τύπος για το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου:

$$E=\pi R^2$$

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

• Οι ομόκεντροι κύκλοι έχουν κοινό κέντρο O. Οι μη ομόκεντροι κύκλοι είναι οι κύκλοι που δεν έχουν κοινό κέντρο. Το τμήμα που ενώνει τα κέντρα τους ονομάζεται διάκεντρος.

• Ο κύκλος k₁ βρίσκεται στο εξωτερικό του k₂, οι κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

• Ο κύκλος k₁ βρίσκεται στο εξωτερικό του k₂, αλλά εφάπτονται σε ένα σημείο.

• Οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία.

• Ο κύκλος k₁ βρίσκεται στο εσωτερικό του k₂ και εφάπτονται σε ένα σημείο.

• Ο κύκλος k₁ βρίσκεται στο εσωτερικό του k₂.

Τόξα

Κάθε χορδή που έχει άκρα A και B χωρίζει τον κύκλο σε δύο μέρη που λέγονται τόξα. Κάθε σημείο του κύκλου, εκτός από τα σημεία A και B, είναι τότε εσωτερικό σημείο ενός από τα τόξα. Το τόξο συμβολίζεται τότε για παράδειγμα AXB, όπου X είναι εσωτερικό σημείο του τόξου.

Αν η χορδή είναι ταυτόχρονα διάμετρος, χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα, που τα λέμε ημικύκλια. Στην αντίθετη περίπτωση ο κύκλος χωρίζεται πάντα σε δύο άνισα τόξα.

Επίκεντρη γωνία

Έστω κύκλος k με κέντρο το σημείο O και ένα τόξο AB. Τότε τη γωνία AOB την ονομάζουμε επίκεντρη γωνία που βαίνει στο τόξο AB. Στο μικρότερο τόξο αντιστοιχεί κυρτή επίκεντρη γωνία (η γωνία είναι μικρότερη από 180°), στο μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί μη κυρτή γωνία (μεγαλύτερη από 180°).

Ο κύκλος της εικόνας έχει σημειωμένα δύο τόξα AB. Στο μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί η γωνία α, στο μικρότερο η β.

Εγγεγραμμένη γωνία

Έστω κύκλος k με κέντρο το σημείο O και ένα τόξο AB. Επιλέγουμε επιπλέον ένα σημείο V που δεν ανήκει σε αυτό το τόξο, αλλά βρίσκεται πάνω στον κύκλο. Τότε η γωνία AVB ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία.

Στην εικόνα υπάρχουν δύο εγγεγραμμένες γωνίες, οι AV₁B και AV₂B. Πρόσεξε ότι και οι δύο έχουν το ίδιο μέτρο – 60° – και ότι αυτό το μέτρο είναι το μισό της επίκεντρης γωνίας – 120°.