Ympyrä ja ympyrän kehä

Ympyrän kehä on kaikkien sellaisten tason pisteiden joukko, joilla on annettuun pisteeseen eli ympyrän keskipisteeseen sama etäisyys. Ympyrä kuuluu myös kartioleikkausten joukkoon.

Ympyrän kuvaus

Katso kuvaa ympyrästä:

Ympyrän kehää merkitsemme yleensä pienellä kirjaimella k tai l.

• Jokaisella ympyrällä on keskipiste, jota merkitään O.
• Kaikilla ympyrän kehän pisteillä on keskipisteestä O sama etäisyys, jota kutsutaan ympyrän säteeksi ja jota merkitsemme r. Kuvassa se on jana AO.
• Jana, joka yhdistää kaksi eri pistettä ympyrän kehällä, on jänne. Kuvassa jana FG.
• Jännettä, joka kulkee keskipisteen O kautta, kutsutaan ympyrän halkaisijaksi, ja sitä merkitään d. Pätee 2r = d.

Puhumme lisäksi ympyrän sisä- ja ulkopuolesta. Sisäpuoli on kaikkien niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi kuin ympyrän säde. Ulkopuoli on kaikki ne pisteet, joiden etäisyys keskipisteestä on suurempi kuin säde. Kun yhdistämme kehän ja sen sisäpuolen, saamme ympyrän eli ympyrän rajaaman alueen.

Kehän pituus ja pinta-ala

Mikä on ympyrän halkaisijan ja kehän pituuden suhde? Kuinka monta kertaa kehä on pidempi kuin halkaisija? Jos otat jonkin ympyrän ja yrität mitata sen halkaisijan ja sitten kehän, huomaat, että noin kolme kertaa. Tarkemmin 3,1415 kertaa ja vielä tarkemmin π kertaa.

Lukua π (luetaan pii) kutsutaan myös Ludolphin luvuksi. Se on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on ääretön eikä ole jaksollinen. Jos siis ympyrän halkaisija on annettu jonakin kokonaislukuna, sen kehän pituutta et koskaan saa täysin tarkasti. Käytännön elämässä riittää kuitenkin hyvin tietää likiarvo.

Ympyrän kehän pituuden kaava on tällainen:

$$p=\pi d=2\pi r$$

Ympyrän pinta-alan kaava:

$$A=\pi r^2$$

Kahden ympyrän keskinäiset asemat

• Samankeskisillä ympyröillä on yhteinen keskipiste O. Ei-samankeskiset ympyrät ovat sellaisia ympyröitä, joilla ei ole yhteistä keskipistettä. Jana, joka yhdistää niiden keskipisteet, on keskipisteiden yhdysjana.

• Ympyrä k₁ on ympyrän k₂ ulkopuolella, ympyröillä ei ole yhtään yhteistä pistettä.

• Ympyrä k₁ on ympyrän k₂ ulkopuolella, mutta ne sivuavat toisiaan yhdessä pisteessä.

• Ympyrät leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä.

• Ympyrä k₁ on ympyrän k₂ sisäpuolella ja ne sivuavat toisiaan yhdessä pisteessä.

• Ympyrä k₁ on ympyrän k₂ sisäpuolella.

Kaaret

Jokainen jänne, jonka päätepisteet ovat A ja B, jakaa ympyrän kehän kahteen osaan, joita kutsutaan kaariksi. Jokainen kehän piste paitsi pisteet A ja B on sitten jonkin kaaren sisäpiste. Kaari merkitään esimerkiksi AXB, missä X on kaaren sisäpiste.

Jos jänne on samalla halkaisija, se jakaa ympyrän kehän kahteen yhtä suureen kaareen, joita kutsutaan puoliympyröiksi. Muussa tapauksessa kehä jakautuu aina kahteen erisuuruiseen kaareen.

Keskuskulma

Olkoon ympyrä k, jonka keskipiste on O, ja kaari AB. Silloin kulmaa AOB kutsutaan kaaren AB keskuskulmaksi. Pienemmän kaaren kohdalla on kupera keskuskulma (kulma on pienempi kuin 180°), suuremman kaaren kohdalla on kovera kulma (yli 180°).

Kuvan ympyrään on merkitty kaksi kaarta AB. Suuremman kaaren keskuskulma on α, pienemmän β.

Kehäkulma

Olkoon ympyrä k, jonka keskipiste on O, ja kaari AB. Valitaan lisäksi piste V, joka ei kuulu tähän kaareen mutta on ympyrän kehällä. Silloin kulmaa AVB kutsutaan kehäkulmaksi.

Kuvassa on kaksi kehäkulmaa, AV₁B ja AV₂B. Huomaa, että molemmat ovat yhtä suuret — 60° — ja että tämä suuruus on puolet keskuskulmasta — 120°.