Sirkel

En sirkel er mengden av alle punkter i planet som har samme avstand fra et gitt punkt, sentrum i sirkelen. Sirkelen regnes også blant kjeglesnittene.

Beskrivelse av sirkelen

Se på figuren av en sirkel:

En sirkel betegner vi vanligvis med den lille bokstaven k eller l.

• Hver sirkel har et sentrum, som betegnes S.
• Alle punktene på sirkelen har samme avstand fra sentrum S, og den kalles radius i sirkelen og betegnes r. På figuren er det linjestykket AS.
• Et linjestykke som forbinder to ulike punkter på sirkelen, kalles en korde. På figuren er det linjestykket FG.
• En korde som går gjennom sentrum S, kalles diameter i sirkelen og betegnes d. Det gjelder at 2r = d.

Videre snakker vi om det indre og det ytre området av sirkelen. Det indre området er mengden av alle punkter som har mindre avstand fra sentrum enn radius i sirkelen. Det ytre området er alle punkter som har større avstand fra sentrum enn radius. Hvis vi tar unionen av sirkelen og det indre området, får vi sirkelflaten (sirkelskiven).

Omkrets og areal

Hva er sammenhengen mellom diameteren i sirkelen og omkretsen av sirkelen? Hvor mange ganger større er omkretsen av en sirkel enn diameteren? Hvis du tar en sirkelskive og prøver å måle diameteren og så omkretsen, finner du at det er omtrent tre ganger. Mer nøyaktig 3,1415 ganger, og enda mer nøyaktig π ganger.

Tallet π (vi leser pi) er et irrasjonalt tall, altså et tall med uendelig desimalutvikling uten periode. Hvis du har en fast gitt diameter i en sirkel som et helt tall, kan du derfor aldri finne omkretsen helt nøyaktig. I det praktiske livet er det imidlertid mer enn nok å kjenne en tilnærmet verdi.

Formelen for omkretsen av en sirkel ser slik ut:

$$O=\pi d=2\pi r$$

Formelen for arealet av en sirkelflate:

$$A=\pi r^2$$

Hvordan to sirkler kan ligge i forhold til hverandre

• Konsentriske sirkler har felles sentrum S. Ikke-konsentriske sirkler er sirkler som ikke har felles sentrum. Linjestykket som forbinder sentrene deres, kalles sentrallinjen.

• Sirkelen k₁ ligger i det ytre området av k₂, sirklene har ikke noe felles punkt.

• Sirkelen k₁ ligger i det ytre området av k₂, men sirklene tangerer hverandre i ett punkt.

• Sirklene skjærer hverandre i to punkter.

• Sirkelen k₁ ligger i det indre området av k₂, og sirklene tangerer hverandre i ett punkt.

• Sirkelen k₁ ligger i det indre området av k₂.

Sirkelbuer

Hver korde som har endepunktene A og B, deler sirkelen i to deler som kalles sirkelbuer. Hvert punkt på sirkelen, bortsett fra punktene A og B, er da et indre punkt på en av buene. En bue betegner vi for eksempel AXB, der X er et indre punkt på buen.

Hvis korden samtidig er en diameter, deler den sirkelen i to kongruente buer som vi kaller halvsirkler. Ellers deles sirkelen alltid i to buer av ulik størrelse.

Sentralvinkel

La oss ha sirkelen k med sentrum i punktet S og buen AB. Da kaller vi vinkelen ASB sentralvinkelen over buen AB. Over den minste buen ligger en konveks sentralvinkel (vinkelen er mindre enn 180°), og over den største buen er det en konkav vinkel (mer enn 180°).

Sirkelen på figuren har to buer AB markert. Til den største buen hører vinkelen α, til den minste β.

Periferivinkel

La oss ha sirkelen k med sentrum i punktet S og buen AB. La oss videre velge et punkt V som ikke ligger på denne buen, men som ligger på sirkelen. Da kalles vinkelen AVB en periferivinkel.

På figuren er det to periferivinkler, AV₁B og AV₂B. Legg merke til at begge er like store – 60° – og at denne størrelsen er halvparten så stor som sentralvinkelen – 120°.