Cercle

Un cercle est l’ensemble de tous les points du plan situés à la même distance d’un point donné, le centre du cercle. Le cercle fait aussi partie des coniques.

Description du cercle

Observe la figure d’un cercle :

On note en général un cercle avec une lettre minuscule k ou l.

• Chaque cercle a un centre, noté O.
• Tous les points du cercle sont à la même distance du centre O. Cette distance s’appelle le rayon du cercle et se note r. Sur la figure, c’est le segment [AO].
• Un segment qui relie deux points distincts du cercle s’appelle une corde. Sur la figure, c’est le segment [FG].
• Une corde qui passe par le centre O s’appelle un diamètre du cercle et se note d. On a 2r = d.

On parle aussi de l’intérieur et de l’extérieur du cercle. L’intérieur est l’ensemble de tous les points dont la distance au centre est inférieure au rayon du cercle. L’extérieur est formé de tous les points dont la distance au centre est supérieure au rayon. Si l’on réunit le cercle et son intérieur, on obtient un disque.

Périmètre et aire

Quel est le lien entre le diamètre d’un cercle et son périmètre ? Combien de fois le périmètre d’un cercle est-il plus grand que son diamètre ? Si tu prends un disque, que tu mesures son diamètre puis son périmètre, tu constateras que c’est environ trois fois. Plus précisément 3,1415 fois, et encore plus précisément π fois.

Le nombre π se lit « pi ». C’est un nombre irrationnel, c’est-à-dire un nombre dont le développement décimal est infini et sans période. Si le diamètre d’un cercle est un nombre entier donné, on ne pourra donc jamais trouver son périmètre de façon tout à fait exacte. Mais dans la vie pratique, une valeur approchée suffit largement.

La formule du périmètre d’un cercle est la suivante :

$$\mathcal{P}=\pi d=2\pi r$$

Formule de l’aire d’un disque :

$$\mathcal{A}=\pi r^2$$

Positions relatives de deux cercles

• Des cercles concentriques ont le même centre O. Des cercles non concentriques sont des cercles qui n’ont pas le même centre. La droite qui passe par leurs centres s’appelle la droite des centres.

• Le cercle k₁ est à l’extérieur de k₂ : les cercles n’ont aucun point commun.

• Le cercle k₁ est à l’extérieur de k₂, mais les cercles sont tangents en un point.

• Les cercles se coupent en deux points.

• Le cercle k₁ est à l’intérieur de k₂ et ils sont tangents en un point.

• Le cercle k₁ est à l’intérieur de k₂.

Arcs de cercle

Toute corde d’extrémités A et B partage le cercle en deux parties appelées arcs de cercle. Tout point du cercle, sauf les points A et B, est alors un point intérieur à l’un des deux arcs. On note l’arc par exemple AXB, où X est un point intérieur de l’arc.

Si la corde est aussi un diamètre, elle partage le cercle en deux arcs superposables, qu’on appelle demi-cercles. Sinon, le cercle est toujours partagé en deux arcs de longueurs différentes.

Angle au centre

Soit un cercle k de centre O et un arc AB. L’angle $\widehat{AOB}$ s’appelle alors l’angle au centre qui intercepte l’arc AB. Au petit arc correspond un angle au centre saillant (l’angle est inférieur à 180°), au grand arc un angle rentrant (de plus de 180°).

Le cercle de la figure a deux arcs AB marqués. L’angle α correspond au grand arc, l’angle β au petit.

Angle inscrit

Soit un cercle k de centre O et un arc AB. Choisissons ensuite un point V qui n’appartient pas à cet arc, mais qui se trouve sur le cercle. L’angle $\widehat{AVB}$ s’appelle alors angle inscrit.

Sur la figure, il y a deux angles inscrits, $\widehat{A{V}_{1}B}$ et $\widehat{A{V}_{2}B}$. Remarque que tous deux ont la même mesure – 60° – et que cette mesure est la moitié de celle de l’angle au centre – 120°.