Circonferenza

La circonferenza è l’insieme di tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto dato, il centro della circonferenza. La circonferenza è anche una delle coniche.

Descrizione della circonferenza

Osserva la figura della circonferenza:

La circonferenza di solito si indica con la lettera minuscola k oppure l.

• Ogni circonferenza ha un centro, che si indica con O.
• Tutti i punti della circonferenza hanno dal centro O la stessa distanza, che si chiama raggio della circonferenza e si indica con r. Nella figura è il segmento AO.
• Il segmento che unisce due punti diversi della circonferenza si chiama corda. Nella figura è il segmento FG.
• La corda che passa per il centro O si chiama diametro della circonferenza e si indica con d. Vale 2r = d.

Parliamo poi di interno ed esterno della circonferenza. L’interno è l’insieme di tutti i punti la cui distanza dal centro è minore del raggio. L’esterno è formato da tutti i punti la cui distanza dal centro è maggiore del raggio. Se uniamo la circonferenza e il suo interno, otteniamo il cerchio.

Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Qual è il rapporto tra il diametro della circonferenza e la sua lunghezza? Quante volte la lunghezza della circonferenza è maggiore del suo diametro? Se prendi un cerchio e provi a misurare il suo diametro e poi la sua circonferenza, scoprirai che la circonferenza è lunga circa tre volte il diametro. Più precisamente 3,1415 volte e ancora più precisamente π volte.

Il numero π si chiama pi greco. È un numero irrazionale, cioè un numero con uno sviluppo decimale illimitato e senza periodo. Se quindi il diametro della circonferenza è un numero intero fissato, la sua lunghezza non si potrà mai trovare in modo del tutto esatto. Nella vita pratica, però, basta e avanza conoscerne un valore approssimato.

La formula per la lunghezza della circonferenza è

$$C=\pi d=2\pi r$$

La formula per l’area del cerchio è

$$A=\pi r^2$$

Posizioni reciproche di due circonferenze

• Le circonferenze concentriche hanno il centro O in comune. Le circonferenze non concentriche sono invece quelle che non hanno il centro in comune. Il segmento che unisce i loro centri si chiama linea dei centri.

• La circonferenza k₁ è esterna a k₂: le circonferenze non hanno alcun punto in comune.

• La circonferenza k₁ è esterna a k₂, ma le due circonferenze sono tangenti in un punto.

• Le circonferenze si intersecano in due punti.

• La circonferenza k₁ è interna a k₂ e le due circonferenze sono tangenti in un punto.

• La circonferenza k₁ è interna a k₂.

Archi

Ogni corda con estremi A e B divide la circonferenza in due parti dette archi. Ogni punto della circonferenza, tranne A e B, è quindi un punto interno a uno dei due archi. L’arco si indica poi, per esempio, con AXB, dove X è un punto interno dell’arco.

Se la corda è anche un diametro, divide la circonferenza in due archi congruenti, che chiamiamo semicirconferenze. Altrimenti la circonferenza si divide sempre in due archi di lunghezza diversa.

Angolo al centro

Considera una circonferenza k di centro O e un arco AB. L’angolo AOB si chiama angolo al centro e insiste sull’arco AB. Sull’arco minore si trova un angolo al centro convesso (l’angolo è minore di 180°), sull’arco maggiore c’è un angolo concavo (maggiore di 180°).

Nella figura sono evidenziati due archi AB della circonferenza. All’arco maggiore corrisponde l’angolo α, a quello minore l’angolo β.

Angolo alla circonferenza

Considera una circonferenza k di centro O e un arco AB. Scegli poi un punto V che non appartiene a questo arco, ma si trova sulla circonferenza. Allora l’angolo AVB si chiama angolo alla circonferenza.

Nella figura ci sono due angoli alla circonferenza, AV₁B e AV₂B. Osserva che hanno entrambi la stessa ampiezza, 60°, e che questa ampiezza è la metà di quella dell’angolo al centro, 120°.