Cirkel

En cirkel er mængden af alle punkter i planen, som har samme afstand til et givet punkt, cirklens centrum. Cirklen regnes også til keglesnittene.

Beskrivelse af cirklen

Se på figuren af en cirkel:

En cirkel betegner vi som regel med et lille bogstav k eller l.

• Hver cirkel har et centrum, som betegnes M.
• Alle punkter på cirklen har samme afstand til centrum M, den kaldes cirklens radius og betegnes r. På figuren er det linjestykket AM.
• Et linjestykke, som forbinder to forskellige punkter på cirklen, kaldes en korde. På figuren er det linjestykket FG.
• En korde, som går gennem centrum M, kaldes cirklens diameter og betegnes d. Der gælder, at 2r = d.

Desuden taler vi om cirklens indre og ydre område. Det indre område er mængden af alle punkter, som har en afstand til centrum, der er mindre end cirklens radius. Det ydre område er alle punkter, som har en afstand til centrum, der er større end radius. Hvis vi forener cirklen og cirklens indre område, får vi en cirkelskive.

Omkreds og areal

Hvad er sammenhængen mellem cirklens diameter og cirklens omkreds? Hvor mange gange er cirklens omkreds større end dens diameter? Hvis du tager en cirkelskive og prøver at måle dens diameter og derefter dens omkreds, vil du opdage, at det er cirka tre gange. Mere præcist 3,1415 gange og endnu mere præcist π gange.

Tallet π (udtales pi) er et irrationalt tal, altså et tal med en uendelig decimalfremstilling uden periode. Hvis du har en fast given diameter som et helt tal, kan du derfor aldrig finde cirklens omkreds helt præcist. I det praktiske liv er det dog rigeligt at kende en tilnærmet værdi.

Formlen for cirklens omkreds ser sådan ud:

$$O=\pi d=2\pi r$$

Formlen for cirkelskivens areal:

$$A=\pi r^2$$

To cirklers indbyrdes beliggenhed

• Koncentriske cirkler har fælles centrum M. Ikke-koncentriske cirkler er så cirkler, som ikke har fælles centrum. Linjestykket, som forbinder deres centre, kaldes centrallinjen.

• Cirklen k₁ ligger uden for k₂, cirklerne har ikke noget fælles punkt.

• Cirklen k₁ ligger uden for k₂, men de rører hinanden i ét punkt.

• Cirklerne skærer hinanden i to punkter.

• Cirklen k₁ ligger inden for k₂, og de rører hinanden i ét punkt.

• Cirklen k₁ ligger inden for k₂.

Buer

Hver korde med endepunkterne A og B deler cirklen i to dele, som kaldes buer. Hvert punkt på cirklen, bortset fra punkterne A og B, er så et indre punkt på en af buerne. Buen betegner vi så for eksempel AXB, hvor X er et indre punkt på buen.

Hvis korden samtidig er en diameter, deler den cirklen i to kongruente buer, som vi kalder halvcirkler. I modsat fald deler cirklen sig altid i to buer af forskellig størrelse.

Centervinkel

Lad os tage en cirkel k med centrum i punktet M og en bue AB. Så kalder vi vinklen AMB for centervinklen over buen AB. Over den mindre bue ligger en konveks centervinkel (vinklen er mindre end 180°), over den større bue er der en ikke-konveks vinkel (mere end 180°).

Cirklen på figuren har to markerede buer AB. Til den større bue hører vinklen α, til den mindre β.

Periferivinkel

Lad os tage en cirkel k med centrum i punktet M og en bue AB. Lad os desuden vælge et punkt V, som ikke tilhører denne bue, men ligger på cirklen. Så kaldes vinklen AVB en periferivinkel.

På figuren er der to periferivinkler, AV₁B og AV₂B. Læg mærke til, at begge har samme størrelse — 60° — og at denne størrelse er det halve af centervinklen — 120°.