Circunferencia

La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto dado, el centro de la circunferencia. La circunferencia es también una de las cónicas.

Descripción de la circunferencia

Observa la figura de una circunferencia:

La circunferencia se suele denotar con la letra minúscula k o l.

• Toda circunferencia tiene un centro, que se denota O.
• Todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del centro O. Esa distancia se llama radio de la circunferencia y lo denotamos r. En la figura es el segmento AO.
• El segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia se llama cuerda. En la figura es el segmento FG.
• La cuerda que pasa por el centro O se llama diámetro de la circunferencia y se denota d. Se cumple que 2r = d.

Hablamos también del interior y del exterior de la circunferencia. El interior es el conjunto de todos los puntos cuya distancia al centro es menor que el radio. El exterior son todos los puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio. Si unimos la circunferencia y su interior, obtenemos el círculo.

Longitud y área

¿Qué relación hay entre el diámetro de la circunferencia y su longitud? ¿Cuántas veces es mayor la longitud de la circunferencia que su diámetro? Si tomas un círculo e intentas medir su diámetro y después su longitud, comprobarás que es aproximadamente tres veces mayor. Con más precisión, 3,1415 veces, y con más precisión todavía, π veces.

El número π (se lee «pi») es un número irracional, es decir, un número con infinitas cifras decimales sin periodo. Por eso, si tienes un diámetro fijo que es un número entero, nunca podrás hallar la longitud de la circunferencia con total exactitud. En la vida práctica, sin embargo, basta de sobra con conocer un valor aproximado.

La fórmula de la longitud de la circunferencia es esta:

$$L=\pi d=2\pi r$$

La fórmula del área del círculo:

$$A=\pi r^2$$

Posiciones relativas de dos circunferencias

• Las circunferencias concéntricas tienen el mismo centro O. Las circunferencias no concéntricas son las que no tienen el mismo centro. El segmento que une sus centros se llama línea de los centros.

• La circunferencia k₁ está en el exterior de k₂; las circunferencias no tienen ningún punto común.

• La circunferencia k₁ está en el exterior de k₂, pero son tangentes en un punto.

• Las circunferencias se cortan en dos puntos.

• La circunferencia k₁ está en el interior de k₂ y son tangentes en un punto.

• La circunferencia k₁ está en el interior de k₂.

Arcos

Toda cuerda de extremos A y B divide la circunferencia en dos partes llamadas arcos. Todo punto de la circunferencia, salvo los puntos A y B, es un punto interior de uno de los arcos. El arco se denota, por ejemplo, AXB, donde X es un punto interior del arco.

Si la cuerda es además un diámetro, divide la circunferencia en dos arcos iguales, a los que llamamos semicircunferencias. En caso contrario, la circunferencia se divide siempre en dos arcos de distinto tamaño.

Ángulo central

Sean una circunferencia k de centro O y un arco AB. Entonces el ángulo AOB se llama ángulo central sobre el arco AB. Sobre el arco menor se encuentra un ángulo central convexo (el ángulo es menor que 180°) y sobre el arco mayor, un ángulo cóncavo (de más de 180°).

La circunferencia de la figura tiene señalados dos arcos AB. Al arco mayor le corresponde el ángulo α y al menor, β.

Ángulo inscrito

Sean una circunferencia k de centro O y un arco AB. Elijamos además un punto V que no pertenezca a ese arco, pero que esté en la circunferencia. Entonces el ángulo AVB se llama ángulo inscrito.

En la figura hay dos ángulos inscritos, AV₁B y AV₂B. Fíjate en que los dos tienen la misma amplitud —60°— y que esta es la mitad del ángulo central —120°—.