Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt des Kreises, den gleichen Abstand haben. Der Kreis zählt auch zu den Kegelschnitten.

Beschreibung des Kreises

Sieh dir die Abbildung eines Kreises an:

Einen Kreis bezeichnen wir üblicherweise mit dem Kleinbuchstaben k oder l.

• Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt, er wird mit M bezeichnet.
• Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand, er heißt Radius des Kreises und wird mit r bezeichnet. In der Abbildung ist das die Strecke AM.
• Eine Strecke, die zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis verbindet, heißt Sehne. In der Abbildung ist das die Strecke FG.
• Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt M verläuft, heißt Durchmesser des Kreises und wird mit d bezeichnet. Es gilt 2r = d.

Weiter sprechen wir vom Inneren und vom Äußeren des Kreises. Das Innere ist die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt kleiner als der Radius ist. Das Äußere besteht aus allen Punkten, deren Abstand vom Mittelpunkt größer als der Radius ist. Wenn wir den Kreis und sein Inneres vereinigen, erhalten wir die Kreisfläche.

Umfang und Flächeninhalt

Wie hängen der Durchmesser und der Umfang eines Kreises zusammen? Wievielmal so groß wie sein Durchmesser ist der Umfang eines Kreises? Wenn du einen runden Gegenstand nimmst und versuchst, zuerst seinen Durchmesser und dann seinen Umfang zu messen, wirst du feststellen, dass der Umfang ungefähr dreimal so groß ist. Genauer 3,1415-mal und noch genauer π-mal.

Die Zahl π (gelesen „Pi“) heißt Kreiszahl. Sie ist eine irrationale Zahl, also eine Zahl mit unendlicher Dezimaldarstellung ohne Periode. Wenn du also den Durchmesser eines Kreises fest als eine ganze Zahl vorgibst, wirst du seinen Umfang nie ganz genau bestimmen können. Im praktischen Leben reicht aber ein Näherungswert völlig aus.

Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:

$$U=\pi d=2\pi r$$

Die Formel für den Flächeninhalt einer Kreisfläche:

$$A=\pi r^2$$

Gegenseitige Lage zweier Kreise

• Konzentrische Kreise haben einen gemeinsamen Mittelpunkt M. Nicht konzentrische Kreise sind Kreise, die keinen gemeinsamen Mittelpunkt haben. Die Strecke, die ihre Mittelpunkte verbindet, heißt Zentrale.

• Der Kreis k₁ liegt im Äußeren von k₂, die Kreise haben keinen gemeinsamen Punkt.

• Der Kreis k₁ liegt im Äußeren von k₂, aber die Kreise berühren sich in einem Punkt.

• Die Kreise schneiden sich in zwei Punkten.

• Der Kreis k₁ liegt im Inneren von k₂ und die Kreise berühren sich in einem Punkt.

• Der Kreis k₁ liegt im Inneren von k₂.

Bögen

Jede Sehne mit den Endpunkten A und B teilt den Kreis in zwei Teile, die Kreisbögen heißen. Jeder Punkt auf dem Kreis außer den Punkten A und B ist dann ein innerer Punkt eines der Bögen. Einen Bogen bezeichnen wir zum Beispiel mit AXB, wobei X ein innerer Punkt des Bogens ist.

Ist die Sehne zugleich ein Durchmesser, teilt sie den Kreis in zwei deckungsgleiche Bögen, die wir Halbkreise nennen. Andernfalls wird der Kreis immer in zwei verschieden große Bögen geteilt.

Mittelpunktswinkel

Gegeben seien ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und ein Bogen AB. Dann nennen wir den Winkel AMB den Mittelpunktswinkel über dem Bogen AB. Über dem kleineren Bogen liegt ein konvexer Mittelpunktswinkel (der Winkel ist kleiner als 180°), über dem größeren Bogen ein überstumpfer Winkel (größer als 180°).

Im Kreis in der Abbildung sind zwei Bögen AB eingezeichnet. Zum größeren Bogen gehört der Winkel α, zum kleineren β.

Umfangswinkel

Gegeben seien ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und ein Bogen AB. Wähle weiter einen Punkt V, der nicht zu diesem Bogen gehört, aber auf dem Kreis liegt. Dann heißt der Winkel AVB Umfangswinkel.

In der Abbildung sind zwei Umfangswinkel eingezeichnet, AV₁B und AV₂B. Beachte, dass beide gleich groß sind – 60° – und dass diese Größe halb so groß ist wie die des Mittelpunktswinkels – 120°.