Окръжност

Окръжността е множество от всички точки в равнината, които са на еднакво разстояние от дадена точка – центъра на окръжността. Окръжността се числи и към коничните сечения.

Описание на окръжността

Разгледай фигурата на окръжност:

Окръжността обикновено означаваме с малката буква k или l.

• Всяка окръжност има център, който означаваме с O.
• Всички точки на окръжността са на еднакво разстояние от центъра O – то се нарича радиус на окръжността и го означаваме с r. На фигурата това е отсечката AO.
• Отсечката, която свързва две различни точки от окръжността, се нарича хорда. На фигурата това е отсечката FG.
• Хордата, която минава през центъра O, се нарича диаметър на окръжността и се означава с d. В сила е 2r = d.

Говорим още за вътрешна и външна област на окръжността. Вътрешната област е множеството от всички точки, чието разстояние до центъра е по-малко от радиуса. Външната област са всички точки, чието разстояние до центъра е по-голямо от радиуса. Ако обединим окръжността и вътрешната ѝ област, получаваме кръг.

Дължина и лице

Каква е връзката между диаметъра и дължината на окръжността? Колко пъти дължината на окръжността е по-голяма от диаметъра ѝ? Ако вземеш някакъв кръг и се опиташ да измериш диаметъра му, а после и дължината на окръжността му, ще установиш, че е приблизително три пъти по-голяма. По-точно 3,1415 пъти, а още по-точно π пъти.

Числото π (чете се пи) се нарича числото на Лудолф. То е ирационално число, т.е. число с безкраен десетичен запис без период. Затова ако диаметърът на окръжността е зададен като някакво цяло число, никога няма да намериш дължината ѝ напълно точно. В практическия живот обаче е напълно достатъчно да знаем някаква приближена стойност.

Формулата за дължината на окръжността изглежда така:

$$C=\pi d=2\pi r$$

Формулата за лицето на кръг:

$$S=\pi r^2$$

Взаимно положение на две окръжности

• Концентрични окръжности имат общ център O. Неконцентрични са окръжностите, които нямат общ център. Отсечката, която свързва центровете им, се нарича централа (линия на центровете).

• Окръжността k₁ лежи във външната област на k₂, окръжностите нямат обща точка.

• Окръжността k₁ лежи във външната област на k₂, но се допират в една точка.

• Окръжностите се пресичат в две точки.

• Окръжността k₁ лежи във вътрешната област на k₂ и се допират в една точка.

• Окръжността k₁ лежи във вътрешната област на k₂.

Дъги

Всяка хорда с крайни точки A и B разделя окръжността на две части, наречени дъги. Всяка точка от окръжността, освен точките A и B, е вътрешна точка на една от дъгите. Дъгата означаваме например с AXB, където X е вътрешна точка на дъгата.

Ако хордата е същевременно диаметър, тя разделя окръжността на две еднакви дъги, които наричаме полуокръжности. В противен случай окръжността винаги се разделя на две дъги с различна дължина.

Централен ъгъл

Нека имаме окръжност k с център в точката O и дъга AB. Тогава ъгъла AOB наричаме централен ъгъл върху дъгата AB. Върху по-малката дъга се намира изпъкнал централен ъгъл (ъгълът е по-малък от 180°), върху по-голямата дъга – неизпъкнал ъгъл (по-голям от 180°).

Окръжността на фигурата има отбелязани две дъги AB. На по-голямата дъга съответства ъгълът α, на по-малката – β.

Вписан ъгъл

Нека имаме окръжност k с център в точката O и дъга AB. Нека изберем още точка V, която не принадлежи на тази дъга, но лежи на окръжността. Тогава ъгълът AVB се нарича вписан ъгъл.

На фигурата има два вписани ъгъла, AV₁B и AV₂B. Забележи, че и двата имат една и съща мярка – 60° – и че тази мярка е половината от мярката на централния ъгъл – 120°.