Cercul

Cercul este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan care se află la aceeași distanță de un punct dat, centrul cercului. Cercul face parte și dintre conice.

Descrierea cercului

Privește figura unui cerc:

Cercul îl notăm de obicei cu litera mică k sau l.

• Fiecare cerc are un centru, notat O.
• Toate punctele cercului se află la aceeași distanță de centrul O, numită raza cercului, pe care o notăm r. În figură este segmentul AO.
• Segmentul care unește două puncte diferite ale cercului se numește coardă. În figură, segmentul FG.
• Coarda care trece prin centrul O se numește diametrul cercului și se notează d. Avem 2r = d.

Vorbim apoi despre interiorul și exteriorul cercului. Interiorul este mulțimea tuturor punctelor a căror distanță față de centru este mai mică decât raza cercului. Exteriorul este format din toate punctele a căror distanță față de centru este mai mare decât raza. Dacă reunim cercul cu interiorul său, obținem discul.

Lungimea cercului și aria discului

Ce legătură există între diametrul și lungimea cercului? De câte ori este lungimea cercului mai mare decât diametrul lui? Dacă iei un disc oarecare și încerci să măsori diametrul, iar apoi lungimea cercului, vei constata că este de aproximativ trei ori. Mai exact de 3,1415 ori și mai exact de π ori.

Numărul π (se citește pi) este un număr irațional, adică un număr cu o scriere zecimală infinită și neperiodică. Dacă ai deci un diametru fixat, de exemplu un număr întreg, nu vei putea afla niciodată exact lungimea cercului. În viața practică este însă pe deplin suficient să cunoaștem o valoare aproximativă.

Formula pentru lungimea cercului arată astfel:

$$L=\pi d=2\pi r$$

Formula pentru aria discului:

$$\mathcal{A}=\pi r^2$$

Poziția relativă a două cercuri

• Cercurile concentrice au același centru O. Cercurile neconcentrice sunt cercurile care nu au același centru. Segmentul care unește centrele lor se numește linia centrelor.

• Cercul k₁ se află în exteriorul cercului k₂, cercurile nu au niciun punct comun.

• Cercul k₁ se află în exteriorul cercului k₂, dar cercurile se ating într-un punct.

• Cercurile se intersectează în două puncte.

• Cercul k₁ se află în interiorul cercului k₂ și cercurile se ating într-un punct.

• Cercul k₁ se află în interiorul cercului k₂.

Arcele de cerc

Fiecare coardă cu capetele A și B împarte cercul în două părți numite arce de cerc. Fiecare punct al cercului, în afară de punctele A și B, este apoi punct interior al unuia dintre arce. Arcul îl notăm de exemplu AXB, unde X este un punct interior al arcului.

Dacă coarda este în același timp diametru, ea împarte cercul în două arce congruente, numite semicercuri. În caz contrar, cercul se împarte întotdeauna în două arce de mărimi diferite.

Unghiul la centru

Fie cercul k cu centrul în punctul O și arcul AB. Atunci unghiul AOB se numește unghiul la centru corespunzător arcului AB. Arcului mai mic îi corespunde un unghi la centru convex (unghiul este mai mic de 180°), arcului mai mare îi corespunde un unghi concav (mai mare de 180°).

Cercul din figură are marcate două arce AB. Arcului mai mare îi corespunde unghiul α, celui mai mic unghiul β.

Unghiul înscris

Fie cercul k cu centrul în punctul O și arcul AB. Alegem apoi un punct V care nu aparține acestui arc, dar se află pe cerc. Atunci unghiul AVB se numește unghi înscris în cerc.

În figură sunt două unghiuri înscrise, AV₁B și AV₂B. Observă că ambele au aceeași măsură – 60° – și că această măsură este jumătate din măsura unghiului la centru – 120°.