Разстояние от точка до права

Разстоянието от точка до права е равно на дължината на „най-късата“ отсечка, прекарана от тази точка до дадената права.

Условие

Имаме права p и точка A, която не лежи на тази права. Интересува ни какво е разстоянието от точката A до правата p. За пример вземаме правата, зададена с общо уравнение p: −x + 2y − 12 = 0, и точката A(6; 4):

Разстоянието от точка до права е равно на дължината на отсечката AB, като правата AB е перпендикулярна на правата p и точката B лежи на правата p. Правата AB означаваме с q.

Решение с формула

Ако не искаш да извеждаш нищо и да пресмяташ „сложно“, можеш просто да запомниш формулата. За точка A(a₁; a₂) и права p, зададена с общо уравнение p: ax + by + c = 0, разстоянието от точката A до правата p е равно на:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Формулата можем да приложим към предишния пример. Заместваме:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Решение чрез пресмятане на координатите на пресечната точка

Алтернативно можем да опитаме да пресметнем координатите на точката B. Дължината на отсечката AB тогава пресмятаме лесно чрез дължината на вектор или чрез Питагоровата теорема. За целта ни върши работа уравнението на правата q. От общото уравнение на правата p можем веднага да изведем нормалния вектор на правата p, той е равен на $\overrightarrow{n}(-1;2)$. Тъй като правите p и q са перпендикулярни, това означава, че ако вземем някакъв вектор $\overrightarrow{m}$, който е перпендикулярен на вектора $\overrightarrow{n}$, този вектор $\overrightarrow{m}$ ще бъде нормален вектор на правата q.

Такъв перпендикулярен вектор е например векторът $\overrightarrow{m}(2;1)$ (можем да го проверим например със скаларното произведение). Правата q има общо уравнение

$$q:2x+y+c=0$$

Коефициента c пресмятаме, като заместим x и y с координатите на точка, която със сигурност лежи на правата. В нашия случай това е точката A(6; 4). Получаваме:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Цялото общо уравнение на правата q има вида:

$$q:2x+y-16=0$$

Сега искаме да намерим пресечната точка на двете прави. Намираме я, като уравненията на двете прави запишем в система уравнения и я решим:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Първото уравнение умножаваме по 2, второто не променяме:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Събираме двете уравнения:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

y-координатата на точката B е y = 8. Заместваме тази стойност в някое уравнение, например в −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Точката B има координати B(4; 8). Сега вече знаем координатите на двете точки. Дължината на отсечката вече се пресмята лесно. Можем от отсечката AB да образуваме вектор $\overrightarrow{AB}$ и да пресметнем дължината на този вектор.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4;8)-(6;4)=(-2;4)$$

Дължината на вектора (−2; 4) е равна на:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$