Pont és egyenes távolsága

Egy pont és egy egyenes távolsága egyenlő annak a „legrövidebb” szakasznak a hosszával, amely ettől a ponttól a megadott egyeneshez vezet.

Feladat

Adott a p egyenes és az A pont, amely nincs rajta az egyenesen. Kíváncsiak vagyunk, mekkora az A pont távolsága a p egyenestől. Példaként vegyük az általános egyenletével megadott p: −x + 2y − 12 = 0 egyenest és az A(6; 4) pontot:

A pont és az egyenes távolsága ekkor egyenlő az AB szakasz hosszával, ahol az AB egyenes merőleges a p egyenesre, és a B pont rajta van a p egyenesen. Az AB egyenest jelöljük q-val.

Megoldás képlettel

Ha nem akarsz semmit levezetni, és semmit sem akarsz „bonyolultan” számolni, egyszerűen megjegyezheted a képletet. Az A(a₁; a₂) pont és az általános egyenletével megadott p: ax + by + c = 0 egyenes távolsága:

$$t(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

A képletet alkalmazhatjuk az előző példára. Behelyettesítünk:

$$\begin{array}{rcl}t(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Megoldás a metszéspont koordinátáinak kiszámításával

Másik lehetőségként megpróbálhatjuk kiszámítani a B pont koordinátáit. Az AB szakasz hosszát ezután már egyszerűen kiszámítjuk a vektorok hosszából vagy a Pitagorasz-tétellel. Ehhez a q egyenes egyenlete segíthet. A p egyenes általános egyenletéből rögtön levezethetjük a p egyenes normálvektorát, ez $\overrightarrow{n}(-1;2)$. Mivel a p és q egyenes merőleges, ez azt jelenti, hogy ha veszünk egy olyan $\overrightarrow{m}$ vektort, amely merőleges az $\overrightarrow{n}$ vektorra, akkor ez az $\overrightarrow{m}$ vektor a q egyenes normálvektora lesz.

Ilyen merőleges vektor például az $\overrightarrow{m}(2;1)$ vektor (ezt ellenőrizhetjük például a skaláris szorzattal). A q egyenes általános egyenlete tehát

$$q:2x+y+c=0$$

A c együtthatót úgy számítjuk ki, hogy x és y helyére egy olyan pont koordinátáit helyettesítjük, amely biztosan rajta van az egyenesen. A mi esetünkben ez az A(6; 4) pont. Kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

A q egyenes teljes általános egyenlete tehát:

$$q:2x+y-16=0$$

Most meg akarjuk tudni a két egyenes metszéspontját. A metszéspontot úgy kapjuk meg, hogy mindkét egyenes egyenletét egyenletrendszerbe foglaljuk, és megoldjuk:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat nem változtatjuk:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

A két egyenletet összeadjuk:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

A B pont y koordinátája y = 8. Ezt az értéket behelyettesítjük valamelyik egyenletbe, például a −x + 2y − 12 = 0 egyenletbe:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

A B pont koordinátái B(4; 8). Most már mindkét pont koordinátáit ismerjük. A szakasz hosszát már könnyű kiszámítani. Az AB szakaszból készíthetünk $\overrightarrow{AB}$ vektort, és kiszámíthatjuk e vektor hosszát.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4;8)-(6;4)=(-2;4)$$

A (−2; 4) vektor hossza ekkor:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$