Afstand fra et punkt til en linje

Afstanden fra et punkt til en linje er lig med længden af det »korteste« linjestykke, som går fra punktet til den givne linje.

Opgaven

Vi har en linje p og et punkt A, som ikke ligger på linjen. Vi er interesserede i, hvad afstanden er fra punktet A til linjen p. Som eksempel tager vi linjen givet ved ligningen p: −x + 2y − 12 = 0 og punktet A(6, 4):

Afstanden fra punktet til linjen er så lig med længden af linjestykket AB, hvor linjen AB er vinkelret på linjen p, og punktet B ligger på linjen p. Linjen AB kalder vi q.

Løsning ved hjælp af en formel

Hvis du ikke vil udlede noget og ikke vil regne noget »kompliceret«, kan du bare huske formlen. For punktet A(a₁, a₂) og linjen p givet ved ligningen p: ax + by + c = 0 er afstanden fra punktet A til linjen p lig med:

$$\mathrm{dist}(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formlen kan vi anvende på det foregående eksempel. Vi indsætter:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{dist}(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Fremgangsmåde ved at beregne koordinaterne til skæringspunktet

Alternativt kan vi prøve at beregne koordinaterne til punktet B. Længden af linjestykket AB kan vi så beregne let ud fra længden af vektoren eller ved Pythagoras' sætning. Hertil kan vi bruge ligningen for linjen q. Af ligningen for linjen p kan vi straks udlede normalvektoren til linjen p, som er lig med $\overrightarrow{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$. Da linjerne p og q er vinkelrette, betyder det, at hvis vi tager en vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$, som er vinkelret på vektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, så er denne vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ normalvektor til linjen q.

En sådan vinkelret vektor er for eksempel vektoren $\overrightarrow{\mathbf{m}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ (det kan vi for eksempel kontrollere med skalarproduktet). Linjen q har altså ligningen

$$q:2x+y+c=0$$

Koefficienten c regner vi ud ved at indsætte koordinaterne til et punkt, som med sikkerhed ligger på linjen, for x og y. I vores tilfælde er det punktet A(6, 4). Vi får:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Hele ligningen for linjen q har formen:

$$q:2x+y-16=0$$

Nu vil vi finde skæringspunktet mellem de to linjer. Skæringspunktet finder vi ved at sætte de to linjers ligninger ind i et ligningssystem og løse det:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Den første ligning ganger vi med 2, den anden lader vi være uændret:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Vi lægger begge ligninger sammen:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

y-koordinaten til punktet B er y = 8. Denne værdi indsætter vi i en af ligningerne, for eksempel i −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Punktet B har koordinaterne B(4, 8). Nu kender vi koordinaterne til begge punkter. At beregne linjestykkets længde er nu let. Vi kan danne vektoren $\overrightarrow{AB}$ ud fra linjestykket AB og beregne længden af denne vektor.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$$

Længden af vektoren $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$ er så lig med:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$