Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist gleich der Länge der „kürzesten“ Strecke, die von diesem Punkt zur gegebenen Geraden gezogen wird.

Aufgabenstellung

Wir haben eine Gerade p und einen Punkt A, der nicht auf dieser Geraden liegt. Uns interessiert, wie groß der Abstand des Punktes A von der Geraden p ist. Als Beispiel nehmen wir die Gerade, die durch die allgemeine Gleichung p: −x + 2y − 12 = 0 gegeben ist, und den Punkt A(6 ∣ 4):

Der Abstand des Punktes von der Geraden ist dann gleich der Länge der Strecke AB, wobei die Gerade AB senkrecht zur Geraden p ist und der Punkt B auf der Geraden p liegt. Die Gerade AB bezeichnen wir mit q.

Lösung mit der Formel

Wenn du nichts herleiten und nichts „kompliziert“ rechnen möchtest, kannst du dir einfach die Formel merken. Für einen Punkt A(a₁ ∣ a₂) und eine Gerade p, die durch die allgemeine Gleichung p: ax + by + c = 0 gegeben ist, ist der Abstand des Punktes A von der Geraden p gleich:

$$d(A;p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Die Formel können wir auf das vorige Beispiel anwenden. Wir setzen ein:

$$\begin{array}{rcl}d(A;p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Vorgehen über die Berechnung der Koordinaten des Schnittpunkts

Alternativ können wir versuchen, die Koordinaten des Punktes B zu berechnen. Die Länge der Strecke AB berechnen wir dann einfach über den Betrag eines Vektors oder über den Satz des Pythagoras. Dazu kann uns die Gleichung der Geraden q dienen. Aus der allgemeinen Gleichung der Geraden p können wir sofort den Normalenvektor der Geraden p ablesen, er lautet $\overrightarrow{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$. Weil die Geraden p und q senkrecht aufeinander stehen, bedeutet das: Nehmen wir einen Vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$, der senkrecht zum Vektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ ist, dann ist dieser Vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ ein Normalenvektor der Geraden q.

Ein solcher senkrechter Vektor ist zum Beispiel der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ (das können wir zum Beispiel mit dem Skalarprodukt überprüfen). Die Gerade q hat also die allgemeine Gleichung

$$q:2x+y+c=0$$

Den Koeffizienten c berechnen wir, indem wir für x und y die Koordinaten eines Punktes einsetzen, der sicher auf der Geraden liegt. In unserem Fall ist das der Punkt A(6 ∣ 4). Wir erhalten:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Die ganze allgemeine Gleichung der Geraden q hat die Form:

$$q:2x+y-16=0$$

Nun wollen wir den Schnittpunkt beider Geraden bestimmen. Den Schnittpunkt bestimmen wir, indem wir die Gleichungen beider Geraden in ein Gleichungssystem schreiben und es lösen:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Die erste Gleichung multiplizieren wir mit 2, die zweite ändern wir nicht:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Beide Gleichungen addieren wir:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

Die y-Koordinate des Punktes B ist y = 8. Diesen Wert setzen wir in eine der Gleichungen ein, zum Beispiel in −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Der Punkt B hat die Koordinaten B(4 ∣ 8). Nun kennen wir die Koordinaten beider Punkte. Die Länge der Strecke zu berechnen ist jetzt leicht. Wir können aus der Strecke AB den Vektor $\overrightarrow{AB}$ bilden und den Betrag dieses Vektors berechnen.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4\mid 8)-(6\mid 4)=(-2\mid 4)$$

Der Betrag des Vektors $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$ ist dann gleich:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$