Avstanden fra et punkt til en linje

Avstanden fra et punkt til en linje er lik lengden av det «korteste» linjestykket fra punktet til den gitte linjen.

Oppgaven

Vi har en linje p og et punkt A som ikke ligger på linjen. Vi vil finne avstanden fra punktet A til linjen p. Som eksempel tar vi linjen gitt ved den generelle likningen p: −x + 2y − 12 = 0 og punktet A(6, 4):

Avstanden fra punktet til linjen er da lik lengden av linjestykket AB, der linjen AB står vinkelrett på linjen p og punktet B ligger på linjen p. Linjen AB kaller vi q.

Løsning med formel

Hvis du ikke vil utlede noe og ikke vil regne noe «komplisert», kan du bare huske formelen. For punktet A(a₁, a₂) og linjen p gitt ved den generelle likningen p: ax + by + c = 0 er avstanden fra punktet A til linjen p lik:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formelen kan vi bruke på det forrige eksempelet. Vi setter inn:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Framgangsmåte med utregning av koordinatene til skjæringspunktet

Alternativt kan vi prøve å regne ut koordinatene til punktet B. Lengden av linjestykket AB regner vi da enkelt ut via lengden av vektorer eller med Pytagoras' setning. Til det kan likningen for linjen q brukes. Fra den generelle likningen for linjen p kan vi med en gang utlede normalvektoren til linjen p, og den er lik $\overrightarrow{\mathbf{n}}=[-1,2]$. Siden linjene p og q står vinkelrett på hverandre, betyr det at hvis vi tar en vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ som står vinkelrett på vektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, vil denne vektoren $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ være normalvektoren til linjen q.

En slik vinkelrett vektor er for eksempel vektoren $\overrightarrow{\mathbf{m}}=[2,1]$ (det kan vi kontrollere for eksempel med skalarproduktet). Linjen q har dermed den generelle likningen

$$q:2x+y+c=0$$

Koeffisienten c regner vi ut ved å sette inn for x og y koordinatene til et punkt som helt sikkert ligger på linjen. I vårt tilfelle er det punktet A(6, 4). Vi får:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Den generelle likningen for linjen q har formen:

$$q:2x+y-16=0$$

Nå vil vi finne skjæringspunktet mellom de to linjene. Skjæringspunktet finner vi ved å sette likningene for begge linjene inn i et likningssett og løse det:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Den første likningen multipliserer vi med 2 og lar den andre være uendret:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Vi legger sammen begge likningene:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

y-koordinaten til punktet B er y = 8. Denne verdien setter vi inn i en av likningene, for eksempel i −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Punktet B har koordinatene B(4, 8). Nå kjenner vi koordinatene til begge punktene, og det er lett å regne ut lengden av linjestykket. Vi kan lage vektoren $\overrightarrow{AB}$ av linjestykket AB og regne ut lengden av denne vektoren.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=[-2,4]$$

Lengden av vektoren [−2, 4] er da lik:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$