Distância de um ponto a uma reta

A distância de um ponto a uma reta é igual ao comprimento do “menor” segmento traçado desse ponto até a reta dada.

Enunciado

Temos uma reta p e um ponto A que não pertence a essa reta. Queremos saber qual é a distância do ponto A à reta p. Como exemplo, tomamos a reta dada pela equação geral p: −x + 2y − 12 = 0 e o ponto A(6, 4):

A distância do ponto à reta é, então, igual ao comprimento do segmento AB, sendo que a reta AB é perpendicular à reta p e o ponto B pertence à reta p. Vamos chamar a reta AB de q.

Resolução pela fórmula

Se você não quer deduzir nada nem fazer cálculos “complicados”, pode simplesmente memorizar a fórmula. Para o ponto A(a₁, a₂) e a reta p dada pela equação geral p: ax + by + c = 0, a distância do ponto A à reta p é igual a:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Podemos aplicar a fórmula ao exemplo anterior. Substituímos:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Procedimento pelo cálculo das coordenadas do ponto de interseção

Alternativamente, podemos tentar calcular as coordenadas do ponto B. Depois, calculamos com facilidade o comprimento do segmento AB, pelo módulo de vetores ou pelo teorema de Pitágoras. Para isso pode nos servir a equação da reta q. Da equação geral da reta p podemos deduzir imediatamente o vetor normal da reta p, que é igual a $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,2)$. Como as retas p e q são perpendiculares, isso significa que, se tomamos algum vetor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ perpendicular ao vetor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, esse vetor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ será vetor normal da reta q.

Um vetor perpendicular assim é, por exemplo, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2,1)$ (podemos conferir, por exemplo, pelo produto escalar). A reta q tem, assim, a equação geral

$$q:2x+y+c=0$$

Calculamos o coeficiente c substituindo x e y pelas coordenadas de um ponto que certamente pertence à reta. No nosso caso, é o ponto A(6, 4). Obtemos:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

A equação geral completa da reta q tem a forma:

$$q:2x+y-16=0$$

Agora queremos descobrir o ponto de interseção das duas retas. Encontramos o ponto de interseção colocando as equações das duas retas em um sistema de equações e resolvendo-o:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Multiplicamos a primeira equação por 2 e não mudamos a segunda:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Somamos as duas equações:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

A coordenada y do ponto B é y = 8. Substituímos esse valor em alguma equação, por exemplo em −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

O ponto B tem coordenadas B(4, 8). Agora já conhecemos as coordenadas dos dois pontos. Calcular o comprimento do segmento é fácil. Podemos formar com o segmento AB o vetor $\overrightarrow{AB}$ e calcular o módulo desse vetor.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

O módulo do vetor (−2, 4) é, então, igual a:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$