Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es igual a la longitud del segmento «más corto» trazado desde ese punto hasta la recta dada.

Enunciado

Tenemos una recta p y un punto A que no está en esta recta. Nos interesa cuál es la distancia del punto A a la recta p. Como ejemplo tomamos la recta dada por la ecuación general p: −x + 2y − 12 = 0 y el punto A(6, 4):

La distancia del punto a la recta es entonces igual a la longitud del segmento AB, donde la recta AB es perpendicular a la recta p y el punto B está en la recta p. A la recta AB la llamaremos q.

Resolución con la fórmula

Si no quieres deducir nada ni hacer cálculos «complicados», puedes simplemente memorizar la fórmula. Para un punto A(a₁, a₂) y una recta p dada por la ecuación general p: ax + by + c = 0, la distancia del punto A a la recta p es igual a:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Podemos aplicar la fórmula al ejemplo anterior. Sustituimos:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Procedimiento calculando las coordenadas del punto de corte

Alternativamente, podemos intentar calcular las coordenadas del punto B. La longitud del segmento AB la calcularemos entonces fácilmente mediante el módulo del vector o mediante el teorema de Pitágoras. Para ello nos puede servir la ecuación de la recta q. De la ecuación general de la recta p podemos deducir enseguida el vector normal de la recta p, que es igual a $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,2)$. Como las rectas p y q son perpendiculares, esto significa que, si tomamos un vector $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ perpendicular al vector $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, este vector $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ será un vector normal de la recta q.

Un vector perpendicular así es, por ejemplo, el vector $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2,1)$ (podemos comprobarlo, por ejemplo, con el producto escalar). La recta q tiene entonces la ecuación general

$$q:2x+y+c=0$$

El coeficiente c lo calculamos sustituyendo x e y por las coordenadas de un punto que seguro está en la recta. En nuestro caso es el punto A(6, 4). Obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

La ecuación general completa de la recta q es:

$$q:2x+y-16=0$$

Ahora queremos hallar el punto de corte de ambas rectas. Lo hallamos formando con las ecuaciones de ambas rectas un sistema de ecuaciones y resolviéndolo:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda no la cambiamos:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Sumamos las dos ecuaciones:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

La coordenada y del punto B es y = 8. Sustituimos este valor en una de las ecuaciones, por ejemplo en −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

El punto B tiene coordenadas B(4, 8). Ahora ya conocemos las coordenadas de ambos puntos. Calcular la longitud del segmento es fácil. Podemos formar con el segmento AB el vector $\overrightarrow{AB}$ y calcular su módulo.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

El módulo del vector (−2, 4) es entonces igual a:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$