Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la un punct la o dreaptă este egală cu lungimea celui „mai scurt” segment dus de la acest punct la dreapta dată.

Enunț

Avem dreapta p și punctul A, care nu se află pe această dreaptă. Ne interesează care este distanța de la punctul A la dreapta p. Ca exemplu luăm dreapta dată de ecuația generală p: −x + 2y − 12 = 0 și punctul A(6, 4):

Distanța de la punct la dreaptă este atunci egală cu lungimea segmentului AB, unde dreapta AB este perpendiculară pe dreapta p, iar punctul B se află pe dreapta p. Dreapta AB o notăm q.

Rezolvare cu formula

Dacă nu vrei să deduci nimic și să calculezi „complicat”, poți pur și simplu să reții formula. Pentru punctul A(a₁, a₂) și dreapta p dată de ecuația generală p: ax + by + c = 0, distanța de la punctul A la dreapta p este egală cu:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Putem aplica formula la exemplul precedent. Înlocuim:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Procedeul prin calculul coordonatelor punctului de intersecție

Alternativ, putem încerca să calculăm coordonatele punctului B. Lungimea segmentului AB o calculăm apoi simplu prin modulul vectorului sau prin teorema lui Pitagora. Ne poate ajuta ecuația dreptei q. Din ecuația generală a dreptei p putem deduce imediat vectorul normal al dreptei p, acesta este $\overrightarrow{n}(-1,2)$. Deoarece dreptele p și q sunt perpendiculare, rezultă că, dacă luăm un vector $\overrightarrow{m}$ perpendicular pe vectorul $\overrightarrow{n}$, acest vector $\overrightarrow{m}$ este vector normal al dreptei q.

Un astfel de vector perpendicular este, de exemplu, vectorul $\overrightarrow{m}(2,1)$ (putem verifica asta, de exemplu, cu produsul scalar). Dreapta q are deci ecuația generală

$$q:2x+y+c=0$$

Coeficientul c îl aflăm înlocuind în locul lui x și y coordonatele unui punct care se află cu siguranță pe dreaptă. În cazul nostru este punctul A(6, 4). Obținem:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Ecuația generală completă a dreptei q are forma:

$$q:2x+y-16=0$$

Acum vrem să aflăm punctul de intersecție al celor două drepte. Îl aflăm punând ecuațiile ambelor drepte într-un sistem de ecuații și rezolvându-l:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Înmulțim prima ecuație cu 2, iar pe a doua o lăsăm neschimbată:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Adunăm cele două ecuații:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

Coordonata y a punctului B este y = 8. Înlocuim această valoare într-o ecuație oarecare, de exemplu în −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Punctul B are coordonatele B(4, 8). Acum cunoaștem coordonatele ambelor puncte. Calculul lungimii segmentului este acum simplu. Putem construi din segmentul AB vectorul $\overrightarrow{AB}$ și calcula modulul acestui vector.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

Modulul vectorului (−2, 4) este atunci egal cu:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$