Afstand van een punt tot een lijn

De afstand van een punt tot een lijn is gelijk aan de lengte van het “kortste” lijnstuk van dit punt naar de gegeven lijn.

Opgave

We hebben een lijn p en een punt A dat niet op deze lijn ligt. We willen weten wat de afstand van punt A tot lijn p is. Als voorbeeld nemen we de lijn die gegeven is door de algemene vergelijking p: −x + 2y = 12 en het punt A(6, 4):

De afstand van een punt tot een lijn is dan gelijk aan de lengte van lijnstuk AB, waarbij lijn AB loodrecht op lijn p staat en punt B op lijn p ligt. Lijn AB noemen we q.

Oplossing met een formule

Als je niets wilt afleiden en niets “ingewikkelds” wilt uitrekenen, kun je gewoon de formule onthouden. Voor een punt A(a₁, a₂) en een lijn p die gegeven is door de algemene vergelijking p: ax + by = c is de afstand van punt A tot lijn p gelijk aan:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

De formule kunnen we toepassen op het vorige voorbeeld. We vullen in:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Werkwijze via de coördinaten van het snijpunt

Als alternatief kunnen we proberen de coördinaten van punt B uit te rekenen. De lengte van lijnstuk AB berekenen we daarna eenvoudig via de lengte van vectoren of via de stelling van Pythagoras. Daarbij kan de vergelijking van lijn q ons helpen. Uit de algemene vergelijking van lijn p kunnen we meteen de normaalvector van lijn p afleiden; die is gelijk aan $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$. Omdat de lijnen p en q loodrecht op elkaar staan, betekent dat dat als we een vector $\overrightarrow{m}$ nemen die loodrecht op de vector $\overrightarrow{n}$ staat, deze vector $\overrightarrow{m}$ een normaalvector van lijn q is.

Zo'n loodrechte vector is bijvoorbeeld de vector $\overrightarrow{m}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ (dat kunnen we bijvoorbeeld controleren met het inproduct). Lijn q heeft dus de algemene vergelijking

$$q:2x+y=c$$

De coëfficiënt c berekenen we door voor x en y de coördinaten van een punt in te vullen dat zeker op de lijn ligt. In ons geval is dat het punt A(6, 4). We krijgen:

$$\begin{array}{rcl}2x+y& =& c\\ 2\cdot 6+4& =& c\\ c& =& 16\end{array}$$

De hele algemene vergelijking van lijn q heeft de vorm:

$$q:2x+y=16$$

Nu willen we het snijpunt van beide lijnen vinden. Het snijpunt vinden we door de vergelijkingen van beide lijnen in een stelsel vergelijkingen te zetten en dat op te lossen:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y& =& 12\\ 2x+y& =& 16\end{array}$$

De eerste vergelijking vermenigvuldigen we met 2, de tweede veranderen we niet:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y& =& 24\\ 2x+y& =& 16\end{array}$$

We tellen beide vergelijkingen op:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y+(2x+y)& =& 24+16\\ 4y+y& =& 40\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

De y-coördinaat van punt B is y = 8. Deze waarde vullen we in een van de vergelijkingen in, bijvoorbeeld in −x + 2y = 12:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y& =& 12\\ -x+2\cdot 8& =& 12\\ -x+16& =& 12\\ x& =& 4\end{array}$$

Punt B heeft de coördinaten B(4, 8). Nu kennen we de coördinaten van beide punten. De lengte van het lijnstuk berekenen is nu eenvoudig. Van lijnstuk AB kunnen we de vector $\overrightarrow{AB}$ maken en de lengte van die vector berekenen.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$$

De lengte van de vector $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$ is dan gelijk aan:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$