Avstånd från en punkt till en linje

Avståndet från en punkt till en linje är lika med längden av den ”kortaste” sträckan från punkten till linjen.

Uppgiften

Vi har en linje p och en punkt A som inte ligger på linjen. Vi vill veta avståndet från punkten A till linjen p. Som exempel tar vi en linje given på allmän form p: −x + 2y − 12 = 0 och punkten A(6, 4):

Avståndet från punkten till linjen är då lika med längden av sträckan AB, där linjen AB är vinkelrät mot linjen p och punkten B ligger på linjen p. Linjen AB kallar vi q.

Lösning med formel

Om du inte vill härleda eller räkna något ”krångligt” kan du helt enkelt lära dig formeln. För en punkt A(a₁, a₂) och en linje p given på allmän form p: ax + by + c = 0 är avståndet från punkten A till linjen p lika med:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formeln kan vi använda på det föregående exemplet. Vi sätter in:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Metod med skärningspunktens koordinater

Alternativt kan vi försöka beräkna koordinaterna för punkten B. Längden av sträckan AB får vi sedan enkelt via vektorns längd eller via Pythagoras sats. Då kan ekvationen för linjen q hjälpa oss. Ur linjen p:s allmänna form kan vi direkt läsa av linjens normalvektor, som är $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,2)$. Eftersom linjerna p och q är vinkelräta mot varandra gäller att om vi tar en vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ som är vinkelrät mot vektorn $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, så är vektorn $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ en normalvektor till linjen q.

En sådan vinkelrät vektor är till exempel $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2,1)$ (det kan vi kontrollera till exempel med skalärprodukten). Linjen q har alltså ekvationen på allmän form

$$q:2x+y+c=0$$

Koefficienten c beräknar vi genom att sätta in koordinaterna för en punkt som säkert ligger på linjen. I vårt fall är det punkten A(6, 4). Vi får:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Den fullständiga ekvationen för linjen q på allmän form är:

$$q:2x+y-16=0$$

Nu vill vi hitta skärningspunkten mellan de båda linjerna. Den får vi genom att ställa upp linjernas ekvationer som ett ekvationssystem och lösa det:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Vi multiplicerar den första ekvationen med 2 och låter den andra vara oförändrad:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Vi adderar de båda ekvationerna:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

y-koordinaten för punkten B är y = 8. Det värdet sätter vi in i någon av ekvationerna, till exempel i −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Punkten B har koordinaterna B(4, 8). Nu känner vi koordinaterna för båda punkterna, och då är det lätt att beräkna sträckans längd. Vi kan bilda vektorn $\overrightarrow{AB}$ av sträckan AB och beräkna vektorns längd.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

Längden av vektorn (−2, 4) är då:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$