Distanza di un punto da una retta

La distanza di un punto da una retta è uguale alla lunghezza del segmento «più corto» condotto da quel punto alla retta data.

Dati

Abbiamo una retta p e un punto A che non appartiene a questa retta. Vogliamo sapere qual è la distanza del punto A dalla retta p. Come esempio prendiamo la retta data dall’equazione in forma implicita p: −x + 2y − 12 = 0 e il punto A(6; 4):

La distanza del punto dalla retta è quindi uguale alla lunghezza del segmento AB, dove la retta AB è perpendicolare alla retta p e il punto B appartiene alla retta p. La retta AB la chiamiamo q.

Risoluzione con la formula

Se non vuoi ricavare nulla e fare calcoli «complicati», puoi semplicemente imparare a memoria la formula. Per il punto A(a₁; a₂) e la retta p data dall’equazione in forma implicita p: ax + by + c = 0, la distanza del punto A dalla retta p è uguale a:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Possiamo applicare la formula all’esempio precedente. Sostituiamo:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Procedimento con il calcolo delle coordinate del punto di intersezione

In alternativa possiamo provare a calcolare le coordinate del punto B. La lunghezza del segmento AB si calcola poi facilmente con il modulo di un vettore oppure con il teorema di Pitagora. Ci serve l’equazione della retta q. Dall’equazione in forma implicita della retta p possiamo ricavare subito il vettore normale alla retta p, che è $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1;2)$. Poiché le rette p e q sono perpendicolari, se prendiamo un vettore $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ ortogonale al vettore $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, allora $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ sarà un vettore normale alla retta q.

Un tale vettore ortogonale è per esempio $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2;1)$ (possiamo verificarlo, ad esempio, con il prodotto scalare). La retta q ha quindi equazione in forma implicita

$$q:2x+y+c=0$$

Il coefficiente c lo ricaviamo sostituendo a x e y le coordinate di un punto che sicuramente appartiene alla retta. Nel nostro caso è il punto A(6; 4). Otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

L’equazione in forma implicita completa della retta q è:

$$q:2x+y-16=0$$

Ora vogliamo trovare il punto di intersezione delle due rette. Lo troviamo mettendo le equazioni delle due rette in un sistema di equazioni e risolvendolo:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e lasciamo invariata la seconda:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Sommiamo le due equazioni:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

L’ordinata del punto B è y = 8. Sostituiamo questo valore in una delle equazioni, ad esempio in −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Il punto B ha coordinate B(4; 8). Ora conosciamo le coordinate di entrambi i punti e calcolare la lunghezza del segmento è facile. Dal segmento AB possiamo costruire il vettore $\overrightarrow{AB}$ e calcolarne il modulo.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4;8)-(6;4)=(-2;4)$$

Il modulo del vettore (−2; 4) è quindi uguale a:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$