Απόσταση σημείου από ευθεία

Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι ίση με το μήκος του «συντομότερου» τμήματος που φέρνουμε από αυτό το σημείο προς τη δοσμένη ευθεία.

Εκφώνηση

Έχουμε μια ευθεία p και ένα σημείο A που δεν βρίσκεται σε αυτή την ευθεία. Μας ενδιαφέρει ποια είναι η απόσταση του σημείου A από την ευθεία p. Για παράδειγμα παίρνουμε την ευθεία που δίνεται από τη γενική εξίσωση p: −x + 2y − 12 = 0 και το σημείο A(6, 4):

Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι τότε ίση με το μήκος του τμήματος AB, όπου η ευθεία AB είναι κάθετη στην ευθεία p και το σημείο B βρίσκεται στην ευθεία p. Την ευθεία AB την ονομάζουμε q.

Λύση με τύπο

Αν δεν θέλεις να αποδείξεις τίποτα ούτε να κάνεις «περίπλοκους» υπολογισμούς, μπορείς απλώς να απομνημονεύσεις τον τύπο. Για σημείο M₀(x₀, y₀) και ευθεία ε που δίνεται από τη γενική εξίσωση ε: Ax + By + Γ= 0 η απόσταση του σημείου M₀ από την ευθεία ε είναι ίση με:

$$d(M_0,\epsilon )=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+\mathrm{\Gamma }|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Τον τύπο μπορούμε να τον εφαρμόσουμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Αντικαθιστούμε:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Διαδικασία με υπολογισμό των συντεταγμένων του ίχνους της καθέτου

Εναλλακτικά μπορούμε να προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου B. Το μήκος του τμήματος AB το υπολογίζουμε μετά απλά μέσω του μέτρου του διανύσματος ή με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε αυτό μπορεί να μας βοηθήσει η εξίσωση της ευθείας q. Από τη γενική εξίσωση της ευθείας p μπορούμε αμέσως να βρούμε το κάθετο διάνυσμα της ευθείας p, που είναι ίσο με $\overrightarrow{n}=(-1,2)$. Επειδή οι ευθείες p και q είναι κάθετες, αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε κάποιο διάνυσμα $\overrightarrow{m}$ κάθετο στο διάνυσμα $\overrightarrow{n}$, τότε αυτό το διάνυσμα $\overrightarrow{m}$ θα είναι κάθετο διάνυσμα της ευθείας q.

Ένα τέτοιο κάθετο διάνυσμα είναι για παράδειγμα το $\overrightarrow{m}=(2,1)$ (μπορούμε να το επαληθεύσουμε π.χ. με το εσωτερικό γινόμενο). Η ευθεία q έχει έτσι γενική εξίσωση

$$q:2x+y+\mathrm{\Gamma }=0$$

Τον συντελεστή Γ τον υπολογίζουμε αντικαθιστώντας στα x και y τις συντεταγμένες ενός σημείου που σίγουρα βρίσκεται στην ευθεία. Στην περίπτωσή μας είναι το σημείο A(6, 4). Παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+\mathrm{\Gamma }& =& 0\\ 2\cdot 6+4+\mathrm{\Gamma }& =& 0\\ \mathrm{\Gamma }& =& -16\end{array}$$

Ολόκληρη η γενική εξίσωση της ευθείας q έχει τη μορφή:

$$q:2x+y-16=0$$

Τώρα θέλουμε να βρούμε το σημείο τομής των δύο ευθειών. Το σημείο τομής το βρίσκουμε βάζοντας τις εξισώσεις των δύο ευθειών σε σύστημα εξισώσεων και λύνοντάς το:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 2 και τη δεύτερη την αφήνουμε όπως είναι:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

Η συντεταγμένη y του σημείου B είναι y = 8. Αυτή την τιμή την αντικαθιστούμε σε κάποια εξίσωση, για παράδειγμα στην −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Το σημείο B έχει συντεταγμένες B(4, 8). Τώρα ξέρουμε τις συντεταγμένες και των δύο σημείων. Ο υπολογισμός του μήκους του τμήματος είναι πια εύκολος. Από το τμήμα AB μπορούμε να φτιάξουμε το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ και να υπολογίσουμε το μέτρο αυτού του διανύσματος.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

Το μέτρο του διανύσματος (−2, 4) είναι τότε ίσο με:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$