Distance d’un point à une droite

La distance d’un point à une droite est égale à la longueur du segment « le plus court » reliant ce point à la droite.

Énoncé

On considère une droite p et un point A qui n’appartient pas à cette droite. Nous voulons connaître la distance du point A à la droite p. Prenons pour exemple la droite donnée par son équation cartésienne p: −x + 2y − 12 = 0 et le point A(6 ; 4) :

La distance du point à la droite est alors égale à la longueur du segment [AB], où la droite (AB) est perpendiculaire à la droite p et où le point B appartient à p. Notons q la droite (AB).

Solution à l’aide d’une formule

Si tu ne veux rien démontrer ni calculer de façon « compliquée », tu peux simplement retenir la formule. Pour le point A(a₁ ; a₂) et la droite p donnée par son équation cartésienne p: ax + by + c = 0, la distance du point A à la droite p est égale à :

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Appliquons cette formule à l’exemple précédent. On remplace :

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Méthode par le calcul des coordonnées du point d’intersection

Autrement, on peut essayer de calculer les coordonnées du point B. La longueur du segment [AB] se calcule ensuite simplement à partir de la norme du vecteur, ou à l’aide du théorème de Pythagore. Pour cela, l’équation de la droite q peut nous aider. On peut déduire immédiatement de l’équation cartésienne de p un vecteur normal de p, égal à $\overrightarrow{\mathbf{n}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$. Comme les droites p et q sont perpendiculaires, si l’on prend un vecteur $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ orthogonal à $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, ce vecteur $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ sera un vecteur normal de q.

Un tel vecteur orthogonal est par exemple $\overrightarrow{\mathbf{m}}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ (on peut le vérifier par exemple avec le produit scalaire). La droite q a donc pour équation cartésienne

$$q:2x+y+c=0$$

On calcule le coefficient c en remplaçant x et y par les coordonnées d’un point qui se trouve certainement sur la droite. Dans notre cas, c’est le point A(6 ; 4). On obtient :

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

L’équation cartésienne complète de la droite q est :

$$q:2x+y-16=0$$

Déterminons maintenant le point d’intersection des deux droites. On le trouve en plaçant les équations des deux droites dans un système d’équations et en le résolvant :

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

On multiplie la première équation par 2 et on laisse la seconde inchangée :

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

On additionne les deux équations :

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

L’ordonnée du point B est y = 8. On remplace cette valeur dans l’une des équations, par exemple dans −x + 2y − 12 = 0 :

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Le point B a pour coordonnées B(4 ; 8). Nous connaissons maintenant les coordonnées des deux points. Calculer la longueur du segment est alors facile. On peut former le vecteur $\overrightarrow{AB}$ à partir du segment et calculer la norme de ce vecteur.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4;8)-(6;4)=(-2;4)$$

La norme du vecteur $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$ est alors égale à :

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$