Pisteen etäisyys suorasta

Pisteen etäisyys suorasta on yhtä suuri kuin sen ”lyhimmän” janan pituus, joka vedetään tästä pisteestä annetulle suoralle.

Tehtävänanto

Meillä on suora p ja piste A, joka ei ole tällä suoralla. Haluamme tietää, mikä on pisteen A etäisyys suorasta p. Otetaan esimerkiksi suora, joka on annettu yleisellä yhtälöllä p: −x + 2y − 12 = 0, ja piste A = (6, 4):

Pisteen etäisyys suorasta on silloin yhtä suuri kuin janan AB pituus, kun suora AB on kohtisuorassa suoraa p vastaan ja piste B on suoralla p. Merkitään suora AB kirjaimella q.

Ratkaisu kaavalla

Jos et halua johtaa mitään etkä laskea mitään ”monimutkaisesti”, voit yksinkertaisesti opetella kaavan ulkoa. Pisteen A = (a₁, a₂) etäisyys suorasta p, joka on annettu yleisellä yhtälöllä p: ax + by + c = 0, on:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Kaavan voi soveltaa edelliseen esimerkkiin. Sijoitetaan:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Ratkaisu leikkauspisteen koordinaattien avulla

Vaihtoehtoisesti voimme yrittää laskea pisteen B koordinaatit. Janan AB pituuden voi sen jälkeen laskea helposti vektorin pituuden avulla tai Pythagoraan lauseella. Siihen voimme käyttää suoran q yhtälöä. Suoran p yleisestä yhtälöstä voimme heti johtaa suoran p normaalivektorin, joka on $\overline{n}=(-1,2)$. Koska suorat p ja q ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, se tarkoittaa, että jos otamme jonkin vektorin $\overline{m}$, joka on kohtisuorassa vektoria $\overline{n}$ vastaan, tämä vektori $\overline{m}$ on suoran q normaalivektori.

Tällainen kohtisuora vektori on esimerkiksi vektori $\overline{m}=(2,1)$ (sen voi tarkistaa vaikkapa pistetulolla). Suoran q yleinen yhtälö on siis

$$q:2x+y+c=0$$

Kerroin c lasketaan sijoittamalla x:n ja y:n paikalle sellaisen pisteen koordinaatit, joka varmasti on suoralla. Meidän tapauksessamme se on piste A = (6, 4). Saamme:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Suoran q koko yleinen yhtälö on:

$$q:2x+y-16=0$$

Nyt haluamme selvittää molempien suorien leikkauspisteen. Leikkauspiste saadaan, kun molempien suorien yhtälöt kirjoitetaan yhtälöryhmäksi ja ratkaistaan se:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla 2 ja jätetään toinen ennalleen:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Lasketaan molemmat yhtälöt yhteen:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

Pisteen B y-koordinaatti on y = 8. Sijoitetaan tämä arvo johonkin yhtälöön, esimerkiksi yhtälöön −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Pisteen B koordinaatit ovat B = (4, 8). Nyt tunnemme molempien pisteiden koordinaatit. Janan pituuden laskeminen on helppoa. Voimme muodostaa janasta AB vektorin $\overrightarrow{AB}$ ja laskea tämän vektorin pituuden.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

Vektorin (−2, 4) pituus on silloin:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$