Elipsa

Elipsa este o conică. Proprietatea de bază a elipsei este că fiecare punct al ei are aceeași sumă a distanțelor până la două puncte date din plan. Aceste puncte se numesc focare.

Cum arată elipsa

Fie date două puncte – E și F, focarele elipsei e. Atunci pentru fiecare punct X al elipsei e trebuie să fie adevărat că

$$|XE|+|XF|=K,$$

unde K este un număr constant. Acest număr este deci același pentru toate punctele elipsei. Dacă E = F, obținem un cerc, iar |XE|+|XF| este egală cu diametrul cercului (adică |XE| trebuie să fie raza cercului). Figura elipsei:

Aceeași sumă a distanțelor până la focare înseamnă că suma |EK|+|FK| trebuie să fie egală cu suma |EL|+|FL|, și la fel pentru toate celelalte puncte de pe elipsă.

Descrierea și proprietățile elipsei

• Elipsa are două focare, pe care le notăm cu E și F.
• Elipsa are două vârfuri principale, A și B, și două vârfuri secundare, C și D.
• Centrul elipsei, în figură punctul S, se află la mijlocul segmentului EF, deci între focare.
• Dreapta care trece prin vârfurile principale (și prin focare) se numește axa mare a elipsei, iar dreapta care trece prin vârfurile secundare se numește axa mică a elipsei.
• Segmentul care unește un vârf principal oarecare cu centrul elipsei se numește semiaxa mare. În figură sunt segmentele AS și BS.
• Segmentul care unește un vârf secundar oarecare cu centrul elipsei se numește semiaxa mică. În figură sunt segmentele CS și DS.
• Constanta K, egală cu suma lungimilor segmentelor care unesc un punct al elipsei cu focarele, este egală cu lungimea segmentului AB. Se vede bine dacă vrem să calculăm suma pentru punctul B. Pentru punctul B suma are forma |FB|+|EB|. Segmentul EB acoperă aproape tot segmentul AB, iar partea rămasă, segmentul AE, are aceeași lungime ca segmentul FB. Deci |FB|+|EB| = |AB|.

Excentricitatea elipsei

O altă constantă importantă a elipsei este excentricitatea, notată e. Aici este vorba de excentricitatea liniară: ea este egală cu distanța de la focare la centrul elipsei, deci e = |ES| = |FS|. (În manualele românești distanța aceasta se notează de obicei c, iar „excentricitatea” este raportul $\frac{c}{a}$; noi folosim aici notația din figuri.) Cum putem calcula excentricitatea? Mai întâi aflăm cât sunt distanțele |ED| și |FD|.

Știm că suma K este egală cu lungimea |AB|. Din figură se vede că segmentele ED și FD au aceeași lungime, deoarece dreapta CD este axă de simetrie a elipsei. Lungimea fiecăruia dintre cele două segmente este deci egală cu jumătate din lungimea |AB|, adică cu lungimea semiaxei mari a elipsei. Dacă notăm lungimea semiaxei mari cu a și lungimea semiaxei mici cu b, obținem figura:

Excentricitatea o putem acum exprima cu ajutorul teoremei lui Pitagora astfel:

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Cu cât elipsa seamănă mai mult cu un cerc, adică cu cât este mai puțin turtită, cu atât excentricitatea ei este mai mică.

Ecuația elipsei

Cum deducem ecuația elipsei? Mai întâi avem nevoie de o elipsă „frumoasă”, așa că alegem o elipsă ale cărei axe mare și mică sunt paralele cu axele Ox și Oy, iar centrul se află în originea sistemului de coordonate, adică are coordonatele (0, 0). O astfel de elipsă arată, de exemplu, așa:

Întrebarea este cum putem exprima în general punctul X, marcat în figură cu albastru. Din definiția elipsei trebuie să fie adevărat că:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Deoarece lungimea segmentului AB este egală cu dublul lungimii semiaxei mari a, putem scrie:

$$|EX|+|FX|=2a$$

În continuare trebuie să exprimăm lungimile segmentelor EX și FX. Începem cu segmentul FX. Completăm figura cu încă două segmente, astfel încât să obținem un triunghi dreptunghic.

Punctul X are coordonatele (x, y), deci lungimea segmentului PX este egală cu ordonata punctului X, adică |PX| = y. Lungimea PF este egală cu |e − x|. Conform teoremei lui Pitagora trebuie să avem:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

La fel cum l-am exprimat pe |FX|, îl exprimăm și pe |EX|. Lungimea PX va fi aceeași, tot y, iar lungimea PE va fi egală cu x + e. Obținem:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Înlocuim aceste noi expresii în ecuația precedentă:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Ar urma acum o grămadă de calcule, până când am ajunge la această formă frumoasă:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Această ecuație este însă valabilă pentru o elipsă cu centrul în origine. Pentru a obține o ecuație mai generală, trebuie să includem în ecuație și coordonatele centrului elipsei. Elipsa cu centrul în punctul (m, n) are ecuația:

Dacă axa mare este paralelă cu axa Ox:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Dacă axa mare este paralelă cu axa Oy:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Exemplu: ca să te convingi că ecuația funcționează cu adevărat, încearcă să înlocuiești în ea punctul X din figură. Pentru figură avem a = 5, b = 4 și X(2,31; 3,55) (coordonatele punctului sunt rotunjite, așa că și rezultatul trebuie rotunjit la final). Înlocuind în membrul stâng al ecuației obținem:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Am obținut astfel egalitatea 1 = 1.

Calculator

Introdu lungimile semiaxei mari și ale semiaxei mici. Aria elipsei este π · a · b. Perimetrul elipsei nu se poate calcula exact cu o formulă simplă, așa că acest calculator folosește formula aproximativă a lui Ramanujan, care diferă foarte puțin de valoarea exactă.