Ellipse

Die Ellipse ist ein Kegelschnitt. Die Grundeigenschaft der Ellipse ist, dass jeder Punkt der Ellipse von zwei gegebenen Punkten in der Ebene dieselbe Abstandssumme hat. Diese Punkte nennt man Brennpunkte.

Wie eine Ellipse aussieht

Seien zwei Punkte gegeben – E und F, die Brennpunkte der Ellipse e. Dann muss für jeden Punkt X der Ellipse e gelten, dass

$$|XE|+|XF|=K,$$

wobei K eine konstante Zahl ist. Diese Zahl ist also für alle Punkte der Ellipse gleich. Im Fall E = F erhalten wir einen Kreis, und |XE|+|XF| ist gleich dem Durchmesser des Kreises (also muss |XE| der Radius des Kreises sein). Bild einer Ellipse:

Die gleiche Abstandssumme von den Brennpunkten bedeutet, dass die Summe |EK|+|FK| genauso groß sein muss wie die Summe |EL|+|FL|, und ebenso für alle anderen Punkte, die auf der Ellipse liegen.

Beschreibung und Eigenschaften der Ellipse

• Die Ellipse hat zwei Brennpunkte, wir bezeichnen sie mit E und F.
• Die Ellipse enthält zwei Hauptscheitel, A und B, und zwei Nebenscheitel, C und D.
• Der Mittelpunkt der Ellipse, im Bild der Punkt S, liegt in der Mitte der Strecke EF, also zwischen den Brennpunkten.
• Die Gerade, die durch die Hauptscheitel (und auch durch die Brennpunkte) geht, heißt Hauptachse der Ellipse, die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse der Ellipse.
• Die Strecke, die einen beliebigen Hauptscheitel mit dem Mittelpunkt der Ellipse verbindet, heißt große Halbachse. Im Bild sind das die Strecken AS und BS.
• Die Strecke, die einen beliebigen Nebenscheitel mit dem Mittelpunkt der Ellipse verbindet, heißt kleine Halbachse. Im Bild sind das die Strecken CS und DS.
• Die Konstante K, die gleich der Summe der Längen der Verbindungsstrecken eines Ellipsenpunktes mit den Brennpunkten ist, ist gleich der Länge der Strecke AB. Das sieht man gut, wenn wir die Summe für den Punkt B berechnen wollen. Für den Punkt B hat die Summe die Form |FB|+|EB|. Die Strecke EB überdeckt fast die ganze Strecke AB, und der übrige Teil, die Strecke AE, ist genauso lang wie die Strecke FB. Deshalb gilt |FB|+|EB| = |AB|.

Exzentrizität der Ellipse

Eine weitere wichtige Konstante der Ellipse ist die lineare Exzentrizität, wir bezeichnen sie mit e. Die Exzentrizität ist gleich dem Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt der Ellipse, also e = |ES| = |FS|. Wie können wir die Exzentrizität berechnen? Zuerst bestimmen wir, wie groß die Abstände |ED| und |FD| sind.

Wir wissen, dass die Summe K gleich der Länge |AB| ist. Dabei ist aus dem Bild ersichtlich, dass die Strecken ED und FD gleich lang sind, weil die Gerade CD die Symmetrieachse der Ellipse ist. Die Länge beider Strecken ist also gleich der Hälfte der Länge |AB|, das ist die Länge der großen Halbachse der Ellipse. Bezeichnen wir die Länge der großen Halbachse mit a und die Länge der kleinen Halbachse mit b, erhalten wir dieses Bild:

Die Exzentrizität können wir nun mithilfe des Satzes des Pythagoras ausdrücken als

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Je ähnlicher die Ellipse einem Kreis ist, d. h. je weniger abgeplattet sie ist, desto kleiner ist ihre Exzentrizität.

Gleichung der Ellipse

Wie leiten wir die Gleichung der Ellipse her? Zuerst brauchen wir eine schöne Ellipse, also wählen wir eine Ellipse, deren Haupt- und Nebenachse parallel zur x- und zur y-Achse sind und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, d. h. die Koordinaten (0 ∣ 0) hat. Eine solche Ellipse sieht zum Beispiel so aus:

Die Frage lautet, wie wir allgemein den Punkt X ausdrücken, der im Bild blau markiert ist. Wir wissen, dass nach der Definition der Ellipse gelten muss:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Weil die Länge der Strecke AB gleich dem Doppelten der Länge der großen Halbachse a ist, können wir schreiben:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Weiter müssen wir die Längen der Strecken EX und FX ausdrücken. Wir beginnen mit der Strecke FX. Wir zeichnen zwei weitere Strecken in das Bild ein, sodass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.

Der Punkt X hat die Koordinaten (x ∣ y), also ist die Länge der Strecke PX gleich der y-Koordinate des Punktes X, d. h. |PX| = y. Die Länge PF ist gleich |e − x|. Nach dem Satz des Pythagoras muss dann gelten:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Genauso, wie wir |FX| ausgedrückt haben, drücken wir auch |EX| aus. Die Länge PX ist wieder gleich y, und die Länge PE ist gleich x + e. Wir erhalten:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Diese neuen Terme setzen wir in die vorherige Gleichung ein:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Nun würde eine große Menge an Umformungen folgen, bis wir schließlich diese schöne Form erhielten:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Diese Gleichung gilt allerdings für eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung. Um eine allgemeinere Gleichung zu erhalten, müssen wir auch die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse berücksichtigen. Die Ellipse mit dem Mittelpunkt (m ∣ n) hat die Gleichung:

Wenn die Hauptachse parallel zur x-Achse ist:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Wenn die Hauptachse parallel zur y-Achse ist:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Beispiel: Damit du glaubst, dass die Gleichung wirklich funktioniert, setzen wir den Punkt X aus dem Bild ein. Für das Bild gilt a = 5, b = 4 und X(2,31 ∣ 3,55) (die Koordinaten des Punktes sind gerundet, das Ergebnis müssen wir am Ende also auch runden). Durch Einsetzen in die linke Seite der Gleichung erhalten wir:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Wir haben also die Gleichheit 1 = 1 erhalten.

Rechner

Gib die Längen der großen und der kleinen Halbachse ein. Der Flächeninhalt der Ellipse beträgt π · a · b. Den Umfang der Ellipse kann man nicht mit einer exakten Formel berechnen, deshalb verwendet der Rechner Ramanujans Näherungsformel, die sich von der Wirklichkeit nur geringfügig unterscheidet.