Elipse

La elipse es una cónica. La propiedad fundamental de la elipse es que todos sus puntos tienen la misma suma de distancias a dos puntos dados del plano. Esos puntos se llaman focos.

Qué aspecto tiene la elipse

Sean E y F dos puntos, los focos de la elipse e. Entonces, para cada punto X de la elipse e tiene que cumplirse que

$$|XE|+|XF|=K,$$

donde K es un número constante. Por tanto, este número es el mismo para todos los puntos de la elipse. En el caso de que E = F, obtenemos una circunferencia y |XE|+|XF| es igual al diámetro de la circunferencia (es decir, |XE| tiene que ser el radio de la circunferencia). Figura de una elipse:

Que la suma de distancias a los focos sea la misma significa entonces que la suma |EK|+|FK| tiene que ser igual a la suma |EL|+|FL|, y lo mismo para todos los demás puntos de la elipse.

Descripción y propiedades de la elipse

• La elipse tiene dos focos, que designamos por E y F.
• La elipse tiene dos vértices del eje mayor, A y B, y dos vértices del eje menor, C y D.
• El centro de la elipse, en la figura el punto S, está en el punto medio del segmento EF, es decir, entre los focos.
• La recta que pasa por los vértices del eje mayor (y también por los focos) se llama eje mayor de la elipse; la recta que pasa por los vértices del eje menor se llama eje menor de la elipse.
• El segmento que une cualquiera de los vértices del eje mayor con el centro de la elipse se llama semieje mayor. En la figura son los segmentos AS y BS.
• El segmento que une cualquiera de los vértices del eje menor con el centro de la elipse se llama semieje menor. En la figura son los segmentos CS y DS.
• La constante K, que es igual a la suma de las longitudes de los segmentos que unen un punto de la elipse con los focos, es igual a la longitud del segmento AB. Se ve bien si queremos calcular la suma para el punto B. Para el punto B, la suma tiene la forma |FB|+|EB|. El segmento EB cubre casi todo el segmento AB, y la parte restante, el segmento AE, tiene la misma longitud que el segmento FB. Por eso |FB|+|EB| = |AB|.

Semidistancia focal de la elipse

Otra constante importante de la elipse es la semidistancia focal, que designamos por e (en muchos libros españoles se denota c). La semidistancia focal es igual a la distancia de los focos al centro de la elipse, es decir, e = |ES| = |FS|. ¿Cómo podemos calcularla? Primero averiguamos cuánto miden las distancias |ED| y |FD|.

Sabemos que la suma K es igual a la longitud |AB|. Además, en la figura se ve que los segmentos ED y FD tendrán la misma longitud, porque la recta CD es un eje de la elipse. La longitud de cada uno de ellos será entonces la mitad de la longitud |AB|, que es la longitud del semieje mayor de la elipse. Si designamos por a la longitud del semieje mayor y por b la del semieje menor, obtenemos esta figura:

Ahora ya podemos expresar la semidistancia focal con ayuda del teorema de Pitágoras como

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Cuanto más se parece la elipse a una circunferencia, es decir, cuanto menos achatada es, menor es su semidistancia focal.

Ecuación de la elipse

¿Cómo deducimos la ecuación de la elipse? Primero necesitamos una elipse cómoda, así que elegimos una elipse cuyos ejes mayor y menor son paralelos a los ejes OX y OY y cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas, es decir, tiene coordenadas (0, 0). Una elipse así tiene, por ejemplo, este aspecto:

La pregunta es cómo expresar en general el punto X, que en la figura está marcado en azul. Sabemos que, por la definición de elipse, tiene que cumplirse:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Como la longitud del segmento AB es igual al doble de la longitud del semieje mayor a, podemos escribir:

$$|EX|+|FX|=2a$$

A continuación tenemos que expresar de algún modo las longitudes de los segmentos EX y FX. Empezamos con el segmento FX. Trazamos en la figura otros dos segmentos de modo que se forme un triángulo rectángulo.

El punto X tiene coordenadas (x, y), así que la longitud del segmento PX es igual a la coordenada y del punto X, es decir, |PX| = y. La longitud PF es igual a |e − x|. Según el teorema de Pitágoras tiene que cumplirse:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

De manera análoga a como hemos expresado |FX|, expresamos también |EX|. La longitud PX será la misma, de nuevo y, y la longitud PE será igual a x + e. Obtenemos:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Sustituimos estas nuevas expresiones en la ecuación anterior:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Ahora vendría un montón de operaciones, hasta que por fin obtendrías esta bonita forma:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Esta ecuación, sin embargo, corresponde a una elipse con centro en el origen. Para obtener una ecuación más general, tenemos que incluir en la ecuación también las coordenadas del centro de la elipse. La elipse de centro en el punto (m, n) tiene por ecuación:

Si el eje mayor es paralelo al eje OX:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Si el eje mayor es paralelo al eje OY:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Ejemplo: para que te convenzas de que la ecuación realmente funciona, vamos a sustituir en ella el punto X de la figura. Para la figura se cumple a = 5, b = 4 y X(2,31; 3,55) (las coordenadas del punto están redondeadas, así que el resultado también tendremos que redondearlo). Sustituyendo en el primer miembro de la ecuación obtenemos:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Hemos obtenido así la igualdad 1 = 1.

Calculadora

Introduce las longitudes del semieje mayor y del semieje menor. El área de la elipse es π · a · b. El perímetro de la elipse no se puede calcular con una fórmula exacta, así que la calculadora usa la fórmula aproximada de Ramanujan, que se aparta del valor real solo muy ligeramente.