Елипса

Елипсата е конично сечение. Основното свойство на елипсата е, че всяка нейна точка има еднакъв сбор от разстоянията до две дадени точки в равнината. Тези точки се наричат фокуси.

Как изглежда елипсата

Нека са дадени две точки – E и F, фокусите на елипсата e. Тогава за всяка точка X от елипсата e трябва да е изпълнено

$$|XE|+|XF|=K,$$

където K е някакво постоянно число. Това число е еднакво за всички точки на елипсата. Ако E = F, получаваме окръжност и |XE|+|XF| е равно на диаметъра на окръжността (т.е. |XE| трябва да е радиусът на окръжността). Фигура на елипса:

Еднаквият сбор от разстоянията до фокусите означава, че сборът |EK|+|FK| трябва да е същият като сбора |EL|+|FL| и по същия начин за всички други точки, които лежат на елипсата.

Описание и свойства на елипсата

• Елипсата има два фокуса, нека ги означим с E и F.
• Елипсата има два главни върха, A и B, и два вторични върха, C и D.
• Центърът на елипсата, на фигурата точката S, лежи в средата на отсечката EF, т.е. между фокусите.
• Правата, която минава през главните върхове (а също и през фокусите), се нарича голяма ос на елипсата, а правата, която минава през вторичните върхове, се нарича малка ос на елипсата.
• Отсечката, която свързва кой да е главен връх с центъра на елипсата, се нарича голяма полуос. На фигурата това са отсечките AS и BS.
• Отсечката, която свързва кой да е вторичен връх с центъра на елипсата, се нарича малка полуос. На фигурата това са отсечките CS и DS.
• Константата K, която е равна на сбора от дължините на отсечките, свързващи точка на елипсата с фокусите, е равна на дължината на отсечката AB. Това се вижда добре, ако пресметнем сбора за точката B. За точката B сборът има вида |FB|+|EB|. Отсечката EB покрива почти цялата отсечка AB, а останалата част, отсечката AE, е със същата дължина като отсечката FB. Затова |FB|+|EB| = |AB|.

Ексцентрицитет на елипсата

Друга важна константа при елипсата е ексцентрицитетът, който означаваме с e. Ексцентрицитетът е равен на разстоянието от фокусите до центъра на елипсата, т.е. e = |ES| = |FS|. Как можем да го пресметнем? Първо намираме на какво са равни разстоянията |ED| и |FD|.

Знаем, че сборът K е равен на дължината |AB|. От фигурата се вижда, че отсечките ED и FD са еднакво дълги, защото правата CD е ос на елипсата. Тогава дължината на всяка от двете отсечки е половината от дължината |AB|, а това е дължината на голямата полуос на елипсата. Ако означим дължината на голямата полуос с a и дължината на малката полуос с b, получаваме фигурата:

Ексцентрицитета вече можем да изразим чрез Питагоровата теорема като

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Колкото повече елипсата прилича на окръжност, т.е. колкото е по-малко сплескана, толкова по-малък е ексцентрицитетът ѝ.

Уравнение на елипсата

Как извеждаме уравнението на елипсата? Първо ни трябва някоя удобна елипса, затова избираме елипса, на която голямата и малката ос са успоредни на осите x и y, а центърът ѝ е в началото на координатната система, т.е. има координати (0; 0). Такава елипса изглежда например така:

Въпросът е как да изразим в общ вид точката X, която на фигурата е отбелязана в синьо. Знаем, че по определението на елипсата трябва да е изпълнено:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Тъй като дължината на отсечката AB е равна на два пъти дължината на голямата полуос a, можем да запишем:

$$|EX|+|FX|=2a$$

След това трябва по някакъв начин да изразим дължините на отсечките EX и FX. Започваме с отсечката FX. Дочертаваме на фигурата още две отсечки, така че да получим правоъгълен триъгълник.

Точката X има координати (x; y), затова дължината на отсечката PX е равна на y-координатата на точката X, т.е. |PX| = y. Дължината PF е равна на |e − x|. По Питагоровата теорема тогава трябва да е изпълнено:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Подобно на |FX| изразяваме и |EX|. Дължината PX ще е същата, отново y, а дължината PE ще е равна на x + e. Получаваме:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Тези нови изрази заместваме в предишното уравнение:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Следват много преобразувания, докато накрая получим този удобен вид:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Това уравнение обаче е за елипса с център в началото. За да получим по-общо уравнение, трябва да включим и координатите на центъра на елипсата. Елипса с център в точката (m; n) има уравнение:

Ако голямата ос е успоредна на оста x:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Ако голямата ос е успоредна на оста y:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Пример: за да повярваш, че уравнението наистина работи, ще заместим в него точката X от фигурата. За фигурата е в сила a = 5, b = 4 и X(2,31; 3,55) (координатите на точката са закръглени, затова и резултатът накрая трябва да закръглим). Като заместим в лявата част на уравнението, получаваме:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Получихме равенството 1 = 1.

Калкулатор

Въведи дължините на голямата и малката полуос. Лицето на елипсата е π · a · b. Периметърът на елипсата не може да се пресметне с точна формула, затова калкулаторът използва приближената формула на Рамануджан, която се различава от точната стойност съвсем малко.