Ellipse

Ellipsen er et keglesnit. Ellipsens grundlæggende egenskab er, at hvert punkt på ellipsen har den samme sum af afstande til to givne punkter i planen. Disse punkter kaldes brændpunkter.

Hvordan en ellipse ser ud

Lad der være givet to punkter — E og F, brændpunkterne for ellipsen e. Så skal der for ethvert punkt X på ellipsen e gælde, at

$$|XE|+|XF|=K,$$

hvor K er et konstant tal. Dette tal er altså det samme for alle punkter på ellipsen. Hvis E = F, får vi en cirkel, og |XE|+|XF| er lig med cirklens diameter (dvs. |XE| må være cirklens radius). Figur af en ellipse:

Den samme sum af afstande til brændpunkterne betyder, at summen |EK|+|FK| skal være den samme som summen |EL|+|FL|, og det samme gælder for alle andre punkter på ellipsen.

Beskrivelse og egenskaber

• Ellipsen har to brændpunkter, lad os kalde dem E og F.
• Ellipsen har to hovedtoppunkter, A og B, og to bitoppunkter, C og D.
• Ellipsens centrum, på figuren punktet S, ligger midt på linjestykket EF, altså mellem brændpunkterne.
• Linjen, som går gennem hovedtoppunkterne (og også gennem brændpunkterne), kaldes ellipsens storakse, linjen, som går gennem bitoppunkterne, kaldes ellipsens lilleakse.
• Et linjestykke, som forbinder et vilkårligt hovedtoppunkt og ellipsens centrum, kaldes den store halvakse. På figuren er det linjestykkerne AS og BS.
• Et linjestykke, som forbinder et vilkårligt bitoppunkt og ellipsens centrum, kaldes den lille halvakse. På figuren er det linjestykkerne CS og DS.
• Konstanten K, som er lig med summen af længderne af forbindelseslinjerne mellem et punkt på ellipsen og brændpunkterne, er lig med længden af linjestykket AB. Det ses fint, hvis vi vil beregne summen for punktet B. For punktet B har summen formen |FB|+|EB|. Linjestykket EB dækker næsten hele linjestykket AB, og den resterende del, linjestykket AE, er lige så langt som linjestykket FB. Derfor er |FB|+|EB| = |AB|.

Ellipsens excentricitet

En anden vigtig konstant i ellipsen er excentriciteten, som vi betegner e. Excentriciteten er lig med afstanden fra brændpunkterne til ellipsens centrum, altså e = |ES| = |FS|. Hvordan kan vi beregne excentriciteten? Først finder vi ud af, hvad afstandene |ED| og |FD| er lig med.

Vi ved, at summen K er lig med længden |AB|. Samtidig ses det af figuren, at linjestykkerne ED og FD er lige lange, fordi linjen CD er ellipsens akse. Længden af dem begge er derfor lig med halvdelen af længden |AB|, hvilket er længden af ellipsens store halvakse. Hvis vi betegner længden af den store halvakse a og længden af den lille halvakse b, får vi figuren:

Excentriciteten kan vi nu udtrykke ved hjælp af Pythagoras' sætning som

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Jo mere ellipsen ligner en cirkel, dvs. jo mindre fladtrykt den er, jo mindre er dens excentricitet.

Ellipsens ligning

Hvordan udleder vi ellipsens ligning? Først har vi brug for en pæn ellipse, så vi vælger en ellipse, hvis storakse og lilleakse er parallelle med x-aksen og y-aksen, og hvis centrum ligger i koordinatsystemets origo, dvs. har koordinaterne (0, 0). En sådan ellipse ser for eksempel sådan ud:

Spørgsmålet er, hvordan vi generelt udtrykker punktet X, som er markeret med blåt på figuren. Vi ved, at der ifølge definitionen af ellipsen skal gælde:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Da længden af linjestykket AB er lig med det dobbelte af den store halvakse a, kan vi skrive:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Dernæst skal vi udtrykke længden af linjestykkerne EX og FX. Vi begynder med linjestykket FX. Vi tegner yderligere to linjestykker ind på figuren, så der opstår en retvinklet trekant.

Punktet X har koordinaterne (x, y), så længden af linjestykket PX er lig med punktet X's y-koordinat, altså |PX| = y. Længden PF er lig med |e − x|. Ifølge Pythagoras' sætning skal der så gælde:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

På samme måde, som vi udtrykte |FX|, udtrykker vi også |EX|. Længden PX er den samme, igen y, og længden PE er lig med x + e. Vi får:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Disse nye udtryk indsætter vi i den foregående ligning:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Nu ville der følge en stor bunke omskrivninger, indtil du til sidst ville få denne pæne form:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Denne ligning gælder dog for en ellipse med centrum i origo. For at få en mere generel ligning skal vi også tage højde for koordinaterne til ellipsens centrum. Ellipsen med centrum i punktet (m, n) har ligningen:

Hvis storaksen er parallel med x-aksen:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Hvis storaksen er parallel med y-aksen:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Eksempel: for at du kan tro på, at ligningen virkelig virker, prøver vi at indsætte punktet X fra figuren. For figuren gælder a = 5, b = 4 og X(2,31; 3,55) (punktets koordinater er afrundede, så resultatet må vi også afrunde). Ved indsættelse i venstre side af ligningen får vi:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Vi har altså fået ligheden 1 = 1.

Beregner

Indtast længderne af den store og den lille halvakse. Ellipsens areal er π · a · b. Ellipsens omkreds kan ikke beregnes med en præcis formel, derfor bruger beregneren Ramanujans tilnærmede formel, som kun afviger ganske lidt fra den sande værdi.