直角三角形

直角三角形は、内角の1つが直角、つまり90°の三角形です。この記事では、直角三角形のいくつかの興味深い性質を見ていきます。

直角三角形とは

直角三角形については、三角形の記事でも少し説明しました。直角三角形は、内角の1つが90°です。残りの2つの内角は、かならず90°より小さくなります。そうでないと、内角の和が180°にならないからです。さらに、残りの2つの角の和は90°になります。

直角三角形にも、もちろん3つの辺があります。そのうち直角をはさむ2辺（赤い辺）は短いほうの辺で、3つ目の辺（青い辺）を斜辺といいます。斜辺は最も長い辺で、いつも直角の頂点の向かいにあります。

三平方の定理

おそらく最も有名な数学の定理、三平方の定理（ピタゴラスの定理）は、直角三角形で成り立つ定理で、三角形の辺の長さについて述べています。この定理は「直角三角形の斜辺を1辺とする正方形の面積は、直角をはさむ2辺をそれぞれ1辺とする正方形の面積の和に等しい」というものです。斜辺が辺 a であるこの三角形について、式で書くと次のようになります。

$$a^2=b^2+c^2$$

三平方の定理を図で表すと、次のようになります。今度は、よく使われる表し方にしたがって斜辺を c としています。 この定理については、別の記事でくわしく説明しています。

直角三角形の面積

直角三角形では、面積をとても簡単に計算できます。高さが直角をはさむ辺と一致するからです。最初の図の直角三角形を思いうかべてください。高さを知らずに、この面積をどうやって計算すればよいでしょうか。三角形に図形をつけ足して、長方形にすればよいのです。長方形の2つの辺は三角形の直角をはさむ辺で、残りの2辺は、長方形ができるようにつけ足します。 長方形の面積は、もう計算できます。となり合う2辺の長さの積で、この例では赤い辺 AC と AB の積です。これで長方形の面積がわかります。また、斜辺 BC は長方形の対角線で、長方形を2等分しています。したがって、長方形の面積を2で割れば、直角三角形の面積になります。公式は次のとおりです。

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

ここで b と c は、直角をはさむ辺の長さです。

サインとコサイン

直角三角形を使うと、基本的な三角比とその関係を考えることができます。サイン、コサイン、タンジェントなどの三角比は、直角三角形のそれぞれの辺の長さの比を表します。最初の三角形をもう一度考えてみましょう。今度は角を示してあります。

2つの辺の長さの比を求めたいときは、2つの長さを、書かれた順に割ります。たとえば、比 b:c（「b対c」と読みます）の値（比の値）は、3/5 を計算して求めます（辺 b の長さは3、辺 c の長さは5です）。

サインは、2つの辺の比と1つの角を結びつけます。この図では、比 b:a の値をとると、角 β のサインの値が得られます。コサインも同様で、同じ角 β について、比 c:a の値になります。したがって、次の式が成り立ちます。

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

サインとコサインでは、直角三角形の角のうち、いつも90°より小さい角だけを考えます。この場合は角 β と γ です。この範囲では、サインとコサインの値はいつも区間 (0, 1) に入ります。このことから、値が区間 (0, 1) に入るように、いつも短い辺を長い辺で割る、と覚えておくとよいでしょう。

どちらも、直角をはさむ辺の1つと斜辺を使い、直角をはさむ2辺どうしを使うことはありません。いつも短い辺を長い辺で割るので、斜辺はいつも分数の分母にきます。上の式を見ると、分母はいつも、三角形の斜辺である a になっています。

最後のきまりは、サインは対辺を、コサインは隣辺を使うということです。どういうことでしょうか。角 β について、隣辺とは点 B から出ている直角をはさむ辺、つまり辺 c です。対辺はもう一方の直角をはさむ辺、つまり辺 b です。そのため、サインの式には辺 b が、コサインの式には辺 c が入っているのです。

まとめると、サインは対辺と斜辺の比、コサインは隣辺と斜辺の比を表します。これはどう役に立つのでしょうか。三角形の角と、斜辺か直角をはさむ辺の長さがわかっていれば、残りの辺の長さを計算できます。例を見てみましょう。

前の三角形では、次のことがわかっています。

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta ={30.96}^{\circ }$$

辺 a の長さはいくつでしょうか。次の式が成り立つことはわかっています。

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

サインの値はわかっていて、辺 b の長さもわかっています。求めたいのは辺 a の長さです。同値変形をして、a について解きます。

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

（まず両辺に a をかけ、それから両辺をサインの値で割りました。）右辺にはもうわかっている値しかないので、代入します。サインの値は関数電卓で計算します。

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{0.514}=5.83.$$

辺 a の長さは5.83です。関数電卓でサインを計算するときは、度のモードになっているか注意しましょう。別の角の単位であるラジアンで計算してしまい、うまくいかないことがよくあるからです。なお、度とラジアンは次の式で変換できます。

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

ここで deg は度で表した値です。

タンジェントとコタンジェント

直角三角形では、この2つも簡単に使えます。やはり、いつも90°より小さい角を考えます。ただし、サインやコサインとちがって、これらは三角形の斜辺を使わず、直角をはさむ辺だけを使います。タンジェントは対辺と隣辺の比、コタンジェントは隣辺と対辺の比です（コタンジェントはタンジェントの逆数で、日本の高校では使いません）。

前の三角形については、次の式が成り立ちます。

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \text{cotan}(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

前の三角形で、角 β を使って辺 AC（辺 b）の長さを計算してみましょう。角の大きさは前の例でわかっています。次の式が成り立ちます。

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

辺 b について解きます。

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

（両辺に c をかけて、左辺と右辺を入れかえただけです。）これで、辺 b の長さを計算するのに必要なものはすべてそろいました。代入します。

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30.96)=5\cdot 0.6=3$$

図からも、正しい答えが得られたことがわかります。ここでも、式の角は度で表していますが、関数電卓ではラジアンが必要な場合があることに注意しましょう。

例として、同じ辺をコタンジェントでも計算してみましょう。

$$\begin{array}{rcl}\text{cotan}(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \text{cotan}(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\text{cotan}(\beta )}\end{array}$$

値を代入します。

$$b=\frac{5}{\text{cotan}(30.96)}=\frac{5}{1.666\dots }=3$$

やはり正しい答えが得られました。