Elipse

A elipse é uma cônica. A propriedade básica da elipse é que cada ponto da elipse tem a mesma soma das distâncias a dois pontos dados do plano. Esses pontos chamam-se focos.

Como é a elipse

Sejam dados dois pontos — E e F, os focos da elipse e. Então, para todo ponto X da elipse e, deve valer que

$$|XE|+|XF|=K,$$

em que K é algum número constante. Esse número é, portanto, o mesmo para todos os pontos da elipse. No caso em que E = F, obtemos uma circunferência, e vale que |XE|+|XF| é igual ao diâmetro da circunferência (ou seja, |XE| deve ser o raio da circunferência). Figura da elipse:

A mesma soma das distâncias aos focos significa, então, que a soma |EK|+|FK| deve ser igual à soma |EL|+|FL| e do mesmo modo para todos os outros pontos que estão na elipse.

Descrição e propriedades da elipse

• A elipse tem dois focos; vamos chamá-los de E e F.
• A elipse contém dois vértices do eixo maior, A e B, e dois vértices do eixo menor, C e D.
• O centro da elipse, na figura o ponto S, fica no ponto médio do segmento EF, ou seja, entre os focos.
• A reta que passa pelos vértices do eixo maior (e também pelos focos) chama-se eixo maior da elipse, e a reta que passa pelos vértices do eixo menor chama-se eixo menor da elipse.
• O segmento que liga qualquer vértice do eixo maior ao centro da elipse chama-se semieixo maior. Na figura, são os segmentos AS e BS.
• O segmento que liga qualquer vértice do eixo menor ao centro da elipse chama-se semieixo menor. Na figura, são os segmentos CS e DS.
• A constante K, igual à soma dos comprimentos dos segmentos que ligam um ponto da elipse aos focos, é igual ao comprimento do segmento AB. Isso se vê bem se quisermos calcular a soma para o ponto B. Para o ponto B, a soma tem a forma: |FB|+|EB|. O segmento EB cobre quase todo o segmento AB, e a parte restante, o segmento AE, tem o mesmo comprimento que o segmento FB. Portanto, |FB|+|EB| = |AB|.

Semidistância focal da elipse

Outra constante importante na elipse é a semidistância focal, que indicamos por e (em muitos livros brasileiros ela é indicada por c; atenção: no Brasil, a “excentricidade” é a razão e = c/a, e não essa distância). A semidistância focal é igual à distância dos focos ao centro da elipse, ou seja, e = |ES| = |FS|. Como podemos calculá-la? Primeiro descobrimos quanto valem as distâncias |ED| e |FD|.

Sabemos que a soma K é igual ao comprimento |AB|. Além disso, pela figura é evidente que os segmentos ED e FD terão o mesmo comprimento, porque a reta CD é um eixo da elipse. O comprimento de cada um dos segmentos será, portanto, igual à metade do comprimento |AB|, que é o comprimento do semieixo maior da elipse. Se indicarmos o comprimento do semieixo maior por a e o do semieixo menor por b, obtemos a figura:

Podemos então expressar a semidistância focal com o auxílio do teorema de Pitágoras como

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Quanto mais a elipse se parece com a circunferência, isto é, quanto menos achatada ela é, menor é a semidistância focal.

Equação da elipse

Como deduzimos a equação da elipse? Primeiro precisamos de uma elipse bonita, então escolhemos uma elipse cujos eixos maior e menor são paralelos aos eixos x e y e cujo centro está na origem do sistema de coordenadas, isto é, tem coordenadas (0, 0). Uma elipse assim fica, por exemplo, desta forma:

A pergunta é como expressar, em geral, o ponto X, que na figura está indicado em azul. Sabemos que, pela definição de elipse, deve valer:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Como o comprimento do segmento AB é igual ao dobro do comprimento do semieixo maior a, podemos escrever:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Em seguida precisamos expressar de algum modo o comprimento dos segmentos EX e FX. Começamos com o segmento FX. Desenhamos na figura mais dois segmentos, de modo que surja um triângulo retângulo.

O ponto X tem coordenadas (x, y), então o comprimento do segmento PX é igual à coordenada y do ponto X, ou seja, |PX| = y. O comprimento PF é igual a |e − x|. Pelo teorema de Pitágoras, deve valer então:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Do mesmo modo como expressamos |FX|, expressamos também |EX|. O comprimento PX será o mesmo, de novo y, e o comprimento PE será igual a x + e. Obtemos:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Substituímos essas novas expressões na equação anterior:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Agora viria um grande monte de manipulações, até que você obtivesse, no fim, esta bela forma:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Essa equação, no entanto, vale para uma elipse de centro na origem. Para obter uma equação mais geral, precisamos incluir na equação também as coordenadas do centro da elipse. A elipse de centro no ponto (m, n) tem a equação:

Se o eixo maior é paralelo ao eixo x:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Se o eixo maior é paralelo ao eixo y:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Exemplo: para você acreditar que a equação realmente funciona, vamos tentar substituir nela o ponto X da figura. Para a figura vale a = 5, b = 4 e X(2,31; 3,55) (as coordenadas do ponto estão arredondadas; no fim, também precisamos arredondar o resultado). Substituindo no primeiro membro da equação, obtemos:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Obtivemos assim a igualdade 1 = 1.

Calculadora

Informe os comprimentos dos semieixos maior e menor. A área da elipse é π · a · b. O perímetro da elipse não pode ser calculado por uma fórmula exata, por isso a calculadora usa a fórmula aproximada de Ramanujan, que difere muito pouco do valor real.