Ellips

Een ellips is een kegelsnede. De basiseigenschap van een ellips is dat elk punt van de ellips dezelfde som van afstanden heeft tot twee gegeven punten in het vlak. Deze punten heten brandpunten.

Hoe ziet een ellips eruit

Stel dat twee punten gegeven zijn — E en F, de brandpunten van ellips e. Dan moet voor elk punt X van ellips e gelden dat

$$|XE|+|XF|=K,$$

waarbij K een constant getal is. Dit getal is dus voor alle punten van de ellips hetzelfde. Als E = F, krijgen we een cirkel en geldt dat |XE|+|XF| gelijk is aan de diameter van de cirkel (oftewel |XE| moet de straal van de cirkel zijn). Afbeelding van een ellips:

Dezelfde som van afstanden tot de brandpunten betekent dan dat de som |EK|+|FK| gelijk moet zijn aan de som |EL|+|FL| en zo ook voor alle andere punten die op de ellips liggen.

Beschrijving en eigenschappen van een ellips

• Een ellips heeft twee brandpunten, laten we ze E en F noemen.
• Een ellips bevat twee toppen op de lange as, A en B, en twee toppen op de korte as, C en D.
• Het middelpunt van de ellips, in de afbeelding punt S, ligt in het midden van lijnstuk EF, dus tussen de brandpunten.
• De lijn die door de toppen op de lange as (en ook door de brandpunten) gaat, heet de lange as van de ellips, de lijn die door de toppen op de korte as gaat heet de korte as van de ellips.
• Een lijnstuk dat een willekeurige top op de lange as met het middelpunt van de ellips verbindt, heet de lange halve as. In de afbeelding zijn dat de lijnstukken AS en BS.
• Een lijnstuk dat een willekeurige top op de korte as met het middelpunt van de ellips verbindt, heet de korte halve as. In de afbeelding zijn dat de lijnstukken CS en DS.
• De constante K, die gelijk is aan de som van de lengtes van de verbindingen van een punt van de ellips met de brandpunten, is gelijk aan de lengte van lijnstuk AB. Dat is mooi te zien als we de som voor punt B willen berekenen. Voor punt B heeft de som de vorm |FB|+|EB|. Lijnstuk EB bedekt bijna het hele lijnstuk AB en het resterende deel, lijnstuk AE, is even lang als lijnstuk FB. Daarom geldt |FB|+|EB| = |AB|.

Excentriciteit van een ellips

Een andere belangrijke constante bij een ellips is de lineaire excentriciteit, die we noteren met e. De excentriciteit is gelijk aan de afstand van de brandpunten tot het middelpunt van de ellips, dus e = |ES| = |FS|. Hoe kunnen we de excentriciteit berekenen? Eerst zoeken we uit waaraan de afstanden |ED| en |FD| gelijk zijn.

We weten dat de som K gelijk is aan de lengte |AB|. Uit de afbeelding is bovendien duidelijk dat de lijnstukken ED en FD even lang zijn, omdat de lijn CD een symmetrieas van de ellips is. De lengte van beide lijnstukken is dus gelijk aan de helft van de lengte |AB|, en dat is de lengte van de lange halve as van de ellips. Als we de lengte van de lange halve as a noemen en de lengte van de korte halve as b, krijgen we de afbeelding:

De excentriciteit kunnen we nu met de stelling van Pythagoras uitdrukken als

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Hoe meer de ellips op een cirkel lijkt, dus hoe minder afgeplat hij is, des te kleiner is zijn excentriciteit.

Vergelijking van een ellips

Hoe leiden we de vergelijking van een ellips af? Eerst hebben we een mooie ellips nodig, dus we kiezen een ellips waarvan de lange en de korte as evenwijdig zijn aan de x-as en de y-as en waarvan het middelpunt in de oorsprong van het assenstelsel ligt, dus coördinaten (0, 0) heeft. Zo'n ellips ziet er bijvoorbeeld zo uit:

De vraag is hoe we in het algemeen punt X uitdrukken, dat in de afbeelding blauw is aangegeven. We weten dat volgens de definitie van de ellips moet gelden:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Omdat de lengte van lijnstuk AB gelijk is aan twee keer de lengte van de lange halve as a, kunnen we schrijven:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Verder moeten we de lengte van de lijnstukken EX en FX op de een of andere manier uitdrukken. We beginnen met lijnstuk FX. We tekenen in de afbeelding nog twee lijnstukken zo bij dat er een rechthoekige driehoek ontstaat.

Punt X heeft coördinaten (x, y), dus de lengte van lijnstuk PX is gelijk aan de y-coördinaat van punt X, dus |PX| = y. De lengte PF is gelijk aan |e − x|. Volgens de stelling van Pythagoras moet dan gelden:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Net zoals we |FX| hebben uitgedrukt, drukken we ook |EX| uit. De lengte PX is hetzelfde, weer y, en de lengte PE is gelijk aan x + e. We krijgen:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Deze nieuwe uitdrukkingen vullen we in de vorige vergelijking in:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Nu zouden heel wat herleidingen volgen, totdat je uiteindelijk deze mooie vorm zou krijgen:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Deze vergelijking geldt echter alleen voor een ellips met middelpunt in de oorsprong. Om een algemenere vergelijking te krijgen, moeten we ook de coördinaten van het middelpunt van de ellips meenemen. Een ellips met middelpunt in punt (m, n) heeft de vergelijking:

Als de lange as evenwijdig is aan de x-as:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Als de lange as evenwijdig is aan de y-as:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Voorbeeld: om je te laten geloven dat de vergelijking echt werkt, proberen we punt X uit de afbeelding erin in te vullen. Voor de afbeelding geldt a = 5, b = 4 en X(2,31; 3,55) (de coördinaten van het punt zijn afgerond, het resultaat moeten we uiteindelijk ook afronden). Invullen in de linkerkant van de vergelijking geeft:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Zo hebben we de gelijkheid 1 = 1 gekregen.

Rekenmachine

Vul de lengtes van de lange en de korte halve as in. De oppervlakte van een ellips is π · a · b. De omtrek van een ellips is niet met een exacte formule te berekenen, daarom gebruikt de rekenmachine de benaderingsformule van Ramanujan, die maar heel weinig van de werkelijkheid afwijkt.