Ellipsi

Ellipsi on kartioleikkaus. Ellipsin perusominaisuus on, että jokaisen ellipsin pisteen etäisyyksien summa kahdesta tason annetusta pisteestä on sama. Näitä pisteitä kutsutaan polttopisteiksi.

Miltä ellipsi näyttää

Olkoon annettu kaksi pistettä — E ja F, ellipsin e polttopisteet. Silloin jokaiselle ellipsin e pisteelle X täytyy päteä

$$|XE|+|XF|=K,$$

missä K on jokin vakioluku. Tämä luku on siis kaikille ellipsin pisteille sama. Jos E = F, saamme ympyrän kehän, ja summa |XE|+|XF| on yhtä suuri kuin ympyrän halkaisija (eli |XE|:n on oltava ympyrän säde). Kuva ellipsistä:

Sama etäisyyksien summa polttopisteistä tarkoittaa, että summan |EK|+|FK| on oltava sama kuin summa |EL|+|FL|, ja samoin kaikille muille ellipsin pisteille.

Ellipsin kuvaus ja ominaisuudet

• Ellipsillä on kaksi polttopistettä, merkitään ne E ja F.
• Ellipsillä on kaksi pääkärkeä, A ja B, ja kaksi sivukärkeä, C ja D.
• Ellipsin keskipiste, kuvassa piste S, on janan EF keskipisteessä eli polttopisteiden välissä.
• Suoraa, joka kulkee pääkärkien (ja myös polttopisteiden) kautta, kutsutaan ellipsin isoakseliksi, ja suoraa, joka kulkee sivukärkien kautta, ellipsin pikkuakseliksi.
• Janaa, joka yhdistää minkä tahansa pääkärjen ja ellipsin keskipisteen, kutsutaan isoakselin puolikkaaksi. Kuvassa ne ovat janat AS ja BS.
• Janaa, joka yhdistää minkä tahansa sivukärjen ja ellipsin keskipisteen, kutsutaan pikkuakselin puolikkaaksi. Kuvassa ne ovat janat CS ja DS.
• Vakio K, joka on yhtä suuri kuin ellipsin pisteen ja polttopisteiden yhdysjanojen pituuksien summa, on yhtä suuri kuin janan AB pituus. Se näkyy hyvin, jos haluamme laskea summan pisteelle B. Pisteelle B summa on muotoa |FB|+|EB|. Jana EB peittää lähes koko janan AB ja jäljellä oleva osa, jana AE, on yhtä pitkä kuin jana FB. Siksi |FB|+|EB| = |AB|.

Ellipsin eksentrisyys

Toinen tärkeä vakio ellipsissä on eksentrisyys, jota merkitsemme e. Eksentrisyys on yhtä suuri kuin polttopisteiden etäisyys ellipsin keskipisteestä, eli e = |ES| = |FS|. Miten eksentrisyyden voi laskea? Selvitetään ensin, mitä ovat etäisyydet |ED| ja |FD|.

Tiedämme, että summa K on yhtä suuri kuin pituus |AB|. Kuvasta on samalla selvää, että janat ED ja FD ovat yhtä pitkät, koska suora CD on ellipsin akseli. Molempien janojen pituus on siis puolet pituudesta |AB|, mikä on ellipsin isoakselin puolikkaan pituus. Jos merkitsemme isoakselin puolikkaan pituutta a ja pikkuakselin puolikkaan pituutta b, saamme kuvan:

Eksentrisyyden voi sitten ilmaista Pythagoraan lauseen avulla seuraavasti

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Mitä enemmän ellipsi muistuttaa ympyrää eli mitä vähemmän litteä se on, sitä pienempi sen eksentrisyys on.

Ellipsin yhtälö

Miten johdamme ellipsin yhtälön? Tarvitsemme ensin jonkin kauniin ellipsin, joten valitsemme ellipsin, jonka iso- ja pikkuakseli ovat yhdensuuntaiset x- ja y-akselien kanssa ja jonka keskipiste on koordinaatiston origossa eli sen koordinaatit ovat (0, 0). Tällainen ellipsi näyttää esimerkiksi tältä:

Kysymys on, miten ilmaisemme yleisesti pisteen X, joka on kuvassa merkitty sinisellä. Tiedämme, että ellipsin määritelmän mukaan on oltava:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Koska janan AB pituus on kaksi kertaa isoakselin puolikkaan pituus a, voimme kirjoittaa:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Seuraavaksi meidän on jotenkin ilmaistava janojen EX ja FX pituus. Aloitamme janasta FX. Piirrämme kuvaan vielä kaksi janaa, jotta syntyy suorakulmainen kolmio.

Pisteen X koordinaatit ovat (x, y), joten janan PX pituus on yhtä suuri kuin pisteen X y-koordinaatti eli |PX| = y. Pituus PF on |e − x|. Pythagoraan lauseen mukaan on siis oltava:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Samoin kuin ilmaisimme |FX|:n, ilmaisemme myös |EX|:n. Pituus PX on sama, taas y, ja pituus PE on x + e. Saamme:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Nämä uudet lausekkeet sijoitamme edelliseen yhtälöön:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Nyt seuraisi suuri kasa muunnoksia, kunnes lopuksi saisit tämän kauniin muodon:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Tämä yhtälö kuitenkin olettaa ellipsin keskipisteen olevan origossa. Saadaksemme yleisemmän yhtälön meidän on otettava mukaan myös ellipsin keskipisteen koordinaatit. Ellipsin, jonka keskipiste on (m, n), yhtälö on:

Jos isoakseli on yhdensuuntainen x-akselin kanssa:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Jos isoakseli on yhdensuuntainen y-akselin kanssa:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Esimerkki: jotta uskoisit, että yhtälö todella toimii, kokeillaan sijoittaa siihen kuvan piste X. Kuvassa a = 5, b = 4 ja X = (2,31; 3,55) (pisteen koordinaatit on pyöristetty, tulos on lopuksi myös pyöristettävä). Sijoittamalla yhtälön vasempaan puoleen saamme:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Saimme siis yhtäsuuruuden 1 = 1.

Laskin

Anna isoakselin ja pikkuakselin puolikkaiden pituudet. Ellipsin pinta-ala on π · a · b. Ellipsin kehän pituutta ei voi laskea tarkalla kaavalla, joten laskin käyttää Ramanujanin likimääräistä kaavaa, joka poikkeaa todellisuudesta vain häviävän vähän.