Ellips

Ellipsen är ett kägelsnitt. Ellipsens grundläggande egenskap är att varje punkt på ellipsen har samma summa av avstånden till två givna punkter i planet. De här punkterna kallas brännpunkter.

Så ser en ellips ut

Vi har två givna punkter — E och F, brännpunkterna för ellipsen e. Då måste det för varje punkt X på ellipsen e gälla att

$$|XE|+|XF|=K,$$

där K är något konstant tal. Det här talet är alltså detsamma för alla punkter på ellipsen. Om E = F får vi en cirkel, och då gäller att |XE|+|XF| är lika med cirkelns diameter (alltså måste |XE| vara cirkelns radie). Så här ser en ellips ut:

Samma summa av avstånden till brännpunkterna betyder då att summan |EK|+|FK| måste vara lika stor som summan |EL|+|FL|, och likadant för alla andra punkter som ligger på ellipsen.

Beskrivning och egenskaper hos ellipsen

• Ellipsen har två brännpunkter, som vi kallar E och F.
• Ellipsen har två huvudtoppar, A och B, och två bitoppar, C och D.
• Ellipsens medelpunkt, i figuren punkten S, ligger mitt på sträckan EF, alltså mellan brännpunkterna.
• Linjen som går genom huvudtopparna (och även genom brännpunkterna) kallas ellipsens storaxel, och linjen som går genom bitopparna kallas ellipsens lillaxel.
• Sträckan som förbinder en godtycklig huvudtopp med ellipsens medelpunkt kallas stor halvaxel. I figuren är det sträckorna AS och BS.
• Sträckan som förbinder en godtycklig bitopp med ellipsens medelpunkt kallas liten halvaxel. I figuren är det sträckorna CS och DS.
• Konstanten K, som är lika med summan av längderna av sträckorna från en punkt på ellipsen till brännpunkterna, är lika med längden av sträckan AB. Det syns fint om vi vill beräkna summan för punkten B. För punkten B har summan formen |FB|+|EB|. Sträckan EB täcker nästan hela sträckan AB, och den återstående delen, sträckan AE, är lika lång som sträckan FB. Därför är |FB|+|EB| = |AB|.

Ellipsens excentricitet

En annan viktig konstant hos ellipsen är excentriciteten, som vi betecknar e. Excentriciteten är lika med avståndet från brännpunkterna till ellipsens medelpunkt, alltså e = |ES| = |FS|. Hur kan vi beräkna excentriciteten? Först tar vi reda på hur stora avstånden |ED| och |FD| är.

Vi vet att summan K är lika med längden |AB|. Samtidigt syns det i figuren att sträckorna ED och FD är lika långa, eftersom linjen CD är en symmetriaxel för ellipsen. Längden av båda sträckorna är därför lika med hälften av längden |AB|, vilket är längden av ellipsens stora halvaxel. Om vi betecknar längden av den stora halvaxeln a och längden av den lilla halvaxeln b får vi figuren:

Excentriciteten kan vi sedan uttrycka med hjälp av Pythagoras sats som

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Ju mer en ellips liknar en cirkel, alltså ju mindre tillplattad den är, desto mindre excentricitet har den.

Ellipsens ekvation

Hur härleder vi ellipsens ekvation? Först behöver vi en fin ellips, så vi väljer en ellips vars stor- och lillaxel är parallella med x-axeln och y-axeln och vars medelpunkt ligger i origo, alltså har koordinaterna (0, 0). En sådan ellips ser till exempel ut så här:

Frågan är hur vi allmänt uttrycker punkten X, som i figuren är markerad med blått. Vi vet att enligt ellipsens definition måste det gälla att:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Eftersom längden av sträckan AB är lika med två gånger längden av den stora halvaxeln a kan vi skriva:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Sedan måste vi på något sätt uttrycka längden av sträckorna EX och FX. Vi börjar med sträckan FX. Vi ritar in ytterligare två sträckor i figuren så att det bildas en rätvinklig triangel.

Punkten X har koordinaterna (x, y), så längden av sträckan PX är lika med y-koordinaten för punkten X, alltså |PX| = y. Längden PF är lika med |e − x|. Enligt Pythagoras sats måste då gälla:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

På samma sätt som vi uttryckte |FX| uttrycker vi också |EX|. Längden PX blir densamma, återigen y, och längden PE blir lika med x + e. Vi får:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

De här nya uttrycken sätter vi in i den förra ekvationen:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Nu skulle det följa en hel hög omskrivningar, tills du till sist skulle få den här fina formen:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Den här ekvationen gäller dock för en ellips med medelpunkten i origo. För att få en mer allmän ekvation måste vi ta med koordinaterna för ellipsens medelpunkt. En ellips med medelpunkten i punkten (m, n) har ekvationen:

Om storaxeln är parallell med x-axeln:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Om storaxeln är parallell med y-axeln:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Exempel: för att du ska tro på att ekvationen verkligen fungerar sätter vi in punkten X från figuren. För figuren gäller a = 5, b = 4 och X(2,31; 3,55) (punktens koordinater är avrundade, så resultatet måste också avrundas till sist). Genom att sätta in i ekvationens vänstra led får vi:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Vi fick alltså likheten 1 = 1.

Miniräknare

Ange längderna av den stora och den lilla halvaxeln. Ellipsens area är π · a · b. Ellipsens omkrets går inte att beräkna med en exakt formel, så miniräknaren använder Ramanujans approximativa formel, som bara skiljer sig obetydligt från det verkliga värdet.