Έλλειψη

Η έλλειψη είναι κωνική τομή. Βασική ιδιότητά της είναι ότι κάθε σημείο της έχει το ίδιο άθροισμα αποστάσεων από δύο δοσμένα σημεία του επιπέδου. Τα σημεία αυτά λέγονται εστίες.

Πώς μοιάζει η έλλειψη

Έστω δύο σημεία – τα E και F, οι εστίες της έλλειψης e. Τότε για κάθε σημείο X της έλλειψης e πρέπει να ισχύει

$$|XE|+|XF|=K,$$

όπου K είναι κάποιος σταθερός αριθμός. Ο αριθμός αυτός είναι λοιπόν ο ίδιος για όλα τα σημεία της έλλειψης. Αν E = F, παίρνουμε κύκλο και το |XE|+|XF| ισούται με τη διάμετρο του κύκλου (δηλαδή το |XE| πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου). Σχήμα της έλλειψης:

Το ίδιο άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες σημαίνει ότι το άθροισμα |EK|+|FK| πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα |EL|+|FL| και το ίδιο για όλα τα άλλα σημεία της έλλειψης.

Περιγραφή και ιδιότητες της έλλειψης

• Η έλλειψη έχει δύο εστίες, που τις ονομάζουμε E και F.
• Η έλλειψη έχει δύο κύριες κορυφές, τις A και B, και δύο δευτερεύουσες κορυφές, τις C και D.
• Το κέντρο της έλλειψης, στο σχήμα το σημείο S, βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος EF, δηλαδή ανάμεσα στις εστίες.
• Η ευθεία που διέρχεται από τις κύριες κορυφές (και από τις εστίες) λέγεται μεγάλος άξονας της έλλειψης, και η ευθεία που διέρχεται από τις δευτερεύουσες κορυφές λέγεται μικρός άξονας της έλλειψης.
• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια οποιαδήποτε κύρια κορυφή με το κέντρο της έλλειψης λέγεται μεγάλος ημιάξονας. Στο σχήμα είναι τα τμήματα AS και BS.
• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια οποιαδήποτε δευτερεύουσα κορυφή με το κέντρο της έλλειψης λέγεται μικρός ημιάξονας. Στο σχήμα είναι τα τμήματα CS και DS.
• Η σταθερά K, που ισούται με το άθροισμα των μηκών των τμημάτων που ενώνουν ένα σημείο της έλλειψης με τις εστίες, είναι ίση με το μήκος του τμήματος AB. Αυτό φαίνεται ωραία αν θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα για το σημείο B. Για το σημείο B το άθροισμα έχει τη μορφή |FB|+|EB|. Το τμήμα EB καλύπτει σχεδόν ολόκληρο το τμήμα AB και το υπόλοιπο, το τμήμα AE, έχει το ίδιο μήκος με το τμήμα FB. Άρα |FB|+|EB| = |AB|.

Γραμμική εκκεντρότητα της έλλειψης

Μια ακόμη σημαντική σταθερά της έλλειψης είναι η γραμμική εκκεντρότητα, που τη συμβολίζουμε e. Η γραμμική εκκεντρότητα ισούται με την απόσταση των εστιών από το κέντρο της έλλειψης, δηλαδή e = |ES| = |FS|. Πώς μπορούμε να την υπολογίσουμε; Πρώτα βρίσκουμε σε τι ισούνται οι αποστάσεις |ED| και |FD|.

Ξέρουμε ότι το άθροισμα K ισούται με το μήκος |AB|. Επιπλέον, από το σχήμα φαίνεται ότι τα τμήματα ED και FD έχουν το ίδιο μήκος, επειδή η ευθεία CD είναι άξονας συμμετρίας της έλλειψης. Το μήκος καθενός από τα δύο τμήματα θα είναι ίσο με το μισό του |AB|, που είναι το μήκος του μεγάλου ημιάξονα της έλλειψης. Αν συμβολίσουμε το μήκος του μεγάλου ημιάξονα με a και το μήκος του μικρού ημιάξονα με b, παίρνουμε το σχήμα:

Τη γραμμική εκκεντρότητα μπορούμε τώρα να τη γράψουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα ως

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Όσο πιο πολύ μοιάζει η έλλειψη με κύκλο, δηλαδή όσο λιγότερο πεπλατυσμένη είναι, τόσο μικρότερη είναι η γραμμική εκκεντρότητά της.

Εξίσωση της έλλειψης

Πώς βρίσκουμε την εξίσωση της έλλειψης; Πρώτα χρειαζόμαστε μια βολική έλλειψη, οπότε επιλέγουμε μια έλλειψη της οποίας ο μεγάλος και ο μικρός άξονας είναι παράλληλοι στους άξονες x'x και y'y και το κέντρο βρίσκεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, δηλαδή έχει συντεταγμένες (0, 0). Μια τέτοια έλλειψη μοιάζει για παράδειγμα έτσι:

Το ερώτημα είναι πώς θα εκφράσουμε γενικά το σημείο X, που στο σχήμα είναι σημειωμένο με μπλε χρώμα. Ξέρουμε ότι από τον ορισμό της έλλειψης πρέπει να ισχύει:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Επειδή το μήκος του τμήματος AB είναι ίσο με το διπλάσιο του μήκους του μεγάλου ημιάξονα a, μπορούμε να γράψουμε:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Στη συνέχεια πρέπει να εκφράσουμε τα μήκη των τμημάτων EX και FX. Ξεκινάμε με το τμήμα FX. Προσθέτουμε στο σχήμα άλλα δύο τμήματα, ώστε να σχηματιστεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Το σημείο X έχει συντεταγμένες (x, y), άρα το μήκος του τμήματος PX είναι ίσο με την τεταγμένη y του σημείου X, δηλαδή |PX| = y. Το μήκος PF είναι ίσο με |e − x|. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα πρέπει να ισχύει:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Όπως εκφράσαμε το |FX|, εκφράζουμε και το |EX|. Το μήκος PX θα είναι πάλι το ίδιο, δηλαδή y, και το μήκος PE θα είναι ίσο με x + e. Παίρνουμε:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Αντικαθιστούμε αυτές τις νέες παραστάσεις στην προηγούμενη εξίσωση:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Τώρα θα ακολουθούσε ένας μεγάλος όγκος πράξεων, ώσπου να καταλήξεις στην εξής όμορφη μορφή:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Η εξίσωση αυτή όμως αφορά έλλειψη με κέντρο στην αρχή. Για να βρούμε μια γενικότερη εξίσωση, πρέπει να λάβουμε υπόψη και τις συντεταγμένες του κέντρου της έλλειψης. Η έλλειψη με κέντρο το σημείο (m, n) έχει εξίσωση:

Αν ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος στον άξονα x'x:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Αν ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος στον άξονα y'y:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Παράδειγμα: για να πειστείς ότι η εξίσωση πράγματι ισχύει, ας αντικαταστήσουμε σε αυτήν το σημείο X του σχήματος. Στο σχήμα ισχύει a = 5, b = 4 και X(2,31; 3,55) (οι συντεταγμένες του σημείου είναι στρογγυλεμένες, οπότε και το αποτέλεσμα πρέπει στο τέλος να το στρογγυλέψουμε). Αντικαθιστώντας στο αριστερό μέλος της εξίσωσης παίρνουμε:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Βρήκαμε έτσι την ισότητα 1 = 1.

Αριθμομηχανή

Βάλε τα μήκη του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα. Το εμβαδόν της έλλειψης είναι π · a · b. Την περίμετρο της έλλειψης δεν μπορεί να την υπολογίσει κανείς με ακριβή τύπο, γι' αυτό η αριθμομηχανή χρησιμοποιεί τον προσεγγιστικό τύπο του Ramanujan, ο οποίος διαφέρει από την πραγματική τιμή μόνο ελάχιστα.