Ellipse

L’ellipse est une conique. Sa propriété fondamentale est que chaque point de l’ellipse a la même somme des distances à deux points donnés du plan. Ces points s’appellent les foyers.

À quoi ressemble une ellipse

Considérons deux points, E et F, les foyers de l’ellipse e. Alors, pour chaque point X de l’ellipse e, on doit avoir

$$XE+XF=K,$$

où K est un nombre constant. Ce nombre est donc le même pour tous les points de l’ellipse. Si E = F, on obtient un cercle et la somme XE + XF est égale au diamètre du cercle (autrement dit XE doit être le rayon du cercle). Voici la figure d’une ellipse :

Avoir la même somme des distances aux foyers signifie que la somme EK + FK doit être égale à la somme EL + FL, et de même pour tous les autres points de l’ellipse.

Description et propriétés de l’ellipse

• L’ellipse a deux foyers, notons-les E et F.
• L’ellipse contient deux sommets sur le grand axe, A et B, et deux sommets sur le petit axe, C et D.
• Le centre de l’ellipse, le point S sur la figure, est le milieu du segment [EF], donc situé entre les foyers.
• La droite qui passe par les sommets du grand axe (et aussi par les foyers) s’appelle le grand axe de l’ellipse ; la droite qui passe par les sommets du petit axe s’appelle le petit axe de l’ellipse.
• Le segment qui joint un sommet du grand axe au centre de l’ellipse s’appelle le demi-grand axe. Sur la figure, ce sont les segments [AS] et BS.
• Le segment qui joint un sommet du petit axe au centre de l’ellipse s’appelle le demi-petit axe. Sur la figure, ce sont les segments [CS] et DS.
• La constante K, égale à la somme des longueurs des segments qui joignent un point de l’ellipse aux foyers, est égale à la longueur du segment [AB]. Cela se voit bien si l’on calcule la somme pour le point B. Pour le point B, la somme s’écrit : FB + EB. Le segment [EB] recouvre presque tout le segment [AB], et la partie restante, le segment [AE], a la même longueur que le segment [FB]. Donc FB + EB = AB.

Distance du centre au foyer

Une autre constante importante de l’ellipse est la distance du centre au foyer, que nous notons e. Elle est égale à la distance des foyers au centre de l’ellipse, c’est-à-dire e = ES = FS. (Attention : en France, le mot « excentricité » désigne plutôt le rapport $\frac{e}{a}$, un nombre sans unité ; ici, e est une longueur.) Comment calculer e ? Commençons par trouver les distances ED et FD.

On sait que la somme K est égale à la longueur AB. Sur la figure, on voit que les segments [ED] et FD ont la même longueur, car la droite CD est un axe de symétrie de l’ellipse. La longueur de chacun d’eux est donc égale à la moitié de AB, c’est-à-dire à la longueur du demi-grand axe de l’ellipse. Si l’on note a la longueur du demi-grand axe et b celle du demi-petit axe, on obtient la figure suivante :

Grâce au théorème de Pythagore, on peut alors exprimer cette distance :

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Plus l’ellipse ressemble à un cercle, c’est-à-dire moins elle est aplatie, plus la distance e est petite.

Équation de l’ellipse

Comment obtenir l’équation d’une ellipse ? Il nous faut d’abord une belle ellipse : choisissons-en une dont le grand axe et le petit axe sont parallèles aux axes x et y et dont le centre est à l’origine du repère, donc de coordonnées (0 ; 0). Une telle ellipse ressemble par exemple à ceci :

La question est de savoir comment exprimer en général le point X, marqué en bleu sur la figure. Par définition de l’ellipse, on doit avoir :

$$EX+FX=AB$$

Comme la longueur du segment [AB] est égale au double de la longueur a du demi-grand axe, on peut écrire :

$$EX+FX=2a$$

Il faut ensuite exprimer les longueurs des segments [EX] et FX. Commençons par le segment [FX]. On ajoute à la figure deux autres segments pour obtenir un triangle rectangle.

Le point X a pour coordonnées (x ; y), donc la longueur du segment [PX] est égale à l’ordonnée du point X, c’est-à-dire PX = y. La longueur PF est égale à |e − x|. D’après le théorème de Pythagore, on doit avoir :

$$FX=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

De la même façon que pour FX, on exprime EX. La longueur PX est la même, de nouveau y, et la longueur PE vaut x + e. On obtient :

$$EX=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

On remplace ces nouvelles expressions dans l’équation précédente :

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Viendrait ensuite un gros tas de calculs, jusqu’à obtenir finalement cette belle forme :

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Cette équation ne vaut toutefois que pour une ellipse de centre l’origine. Pour obtenir une équation plus générale, il faut tenir compte aussi des coordonnées du centre de l’ellipse. L’ellipse de centre le point (m ; n) a pour équation :

Si le grand axe est parallèle à l’axe x :

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Si le grand axe est parallèle à l’axe y :

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Exemple : pour te convaincre que l’équation fonctionne vraiment, essayons d’y remplacer le point X de la figure. Sur la figure, on a a = 5, b = 4 et X(2,31 ; 3,55) (les coordonnées du point sont arrondies, il faudra donc arrondir aussi le résultat). En remplaçant dans le membre de gauche de l’équation, on obtient :

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

On a donc obtenu l’égalité 1 = 1.

Calculatrice

Saisis les longueurs du demi-grand axe et du demi-petit axe. L’aire de l’ellipse est π · a · b. Le périmètre d’une ellipse ne peut pas se calculer par une formule exacte ; la calculatrice utilise donc la formule approchée de Ramanujan, qui ne s’écarte que très peu de la valeur réelle.