Ellipse

Ellipsen er et kjeglesnitt. Den grunnleggende egenskapen til ellipsen er at hvert punkt på ellipsen har samme sum av avstandene til to gitte punkter i planet. Disse punktene kalles brennpunkter.

Hvordan ser en ellipse ut

La oss ha gitt to punkter – E og F, brennpunktene til ellipsen e. Da må det for hvert punkt X på ellipsen e gjelde at

$$|XE|+|XF|=K,$$

der K er et konstant tall. Dette tallet er altså det samme for alle punkter på ellipsen. I tilfellet E = F får vi en sirkel, og |XE|+|XF| er lik diameteren i sirkelen (altså må |XE| være radius i sirkelen). Figur av en ellipse:

Den samme summen av avstandene til brennpunktene betyr da at summen |EK|+|FK| må være den samme som summen |EL|+|FL|, og tilsvarende for alle andre punkter på ellipsen.

Beskrivelse og egenskaper ved ellipsen

• Ellipsen har to brennpunkter, la oss kalle dem E og F.
• Ellipsen har to hovedtopper, A og B, og to bitopper, C og D.
• Sentrum i ellipsen, på figuren punktet S, ligger i midtpunktet på linjestykket EF, altså mellom brennpunktene.
• Linjen som går gjennom hovedtoppene (og også brennpunktene), kalles storaksen til ellipsen, og linjen som går gjennom bitoppene, kalles lilleaksen til ellipsen.
• Linjestykket som forbinder en vilkårlig hovedtopp og sentrum i ellipsen, kalles store halvakse. På figuren er det linjestykkene AS og BS.
• Linjestykket som forbinder en vilkårlig bitopp og sentrum i ellipsen, kalles lille halvakse. På figuren er det linjestykkene CS og DS.
• Konstanten K, som er lik summen av lengdene av linjestykkene fra et punkt på ellipsen til brennpunktene, er lik lengden av linjestykket AB. Det ser vi fint hvis vi vil regne ut summen for punktet B. For punktet B har summen formen: |FB|+|EB|. Linjestykket EB dekker nesten hele linjestykket AB, og den gjenværende delen, linjestykket AE, er like langt som linjestykket FB. Derfor er |FB|+|EB| = |AB|.

Eksentrisiteten til ellipsen

En annen viktig konstant i ellipsen er eksentrisiteten, som vi betegner e. Eksentrisiteten er lik avstanden fra brennpunktene til sentrum i ellipsen, altså e = |ES| = |FS|. Hvordan kan vi regne ut eksentrisiteten? Først finner vi ut hva avstandene |ED| og |FD| er lik.

Vi vet at summen K er lik lengden |AB|. Samtidig ser vi av figuren at linjestykkene ED og FD er like lange, for linjen CD er symmetriaksen til ellipsen. Lengden av begge linjestykkene er derfor lik halvparten av lengden |AB|, som er lengden av store halvakse i ellipsen. Hvis vi betegner lengden av store halvakse med a og lengden av lille halvakse med b, får vi figuren:

Eksentrisiteten kan vi da uttrykke ved hjelp av Pytagoras' setning som

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Jo mer ellipsen likner på en sirkel, altså jo mindre flattrykt den er, desto mindre er eksentrisiteten.

Likningen for ellipsen

Hvordan utleder vi likningen for ellipsen? Først trenger vi en pen ellipse, så vi velger en ellipse der storaksen og lilleaksen er parallelle med x-aksen og y-aksen og sentrum i ellipsen ligger i origo i koordinatsystemet, altså har koordinatene (0, 0). En slik ellipse ser for eksempel slik ut:

Spørsmålet er hvordan vi generelt uttrykker punktet X, som er markert med blått på figuren. Vi vet at det etter definisjonen av ellipsen må gjelde:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Siden lengden av linjestykket AB er lik det dobbelte av lengden av store halvakse a, kan vi skrive:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Videre må vi på en eller annen måte uttrykke lengden av linjestykkene EX og FX. Vi begynner med linjestykket FX. Vi tegner inn to linjestykker til på figuren slik at det oppstår en rettvinklet trekant.

Punktet X har koordinatene (x, y), så lengden av linjestykket PX er lik y-koordinaten til punktet X, altså |PX| = y. Lengden PF er lik |e − x|. Etter Pytagoras' setning må det da gjelde:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

På samme måte som vi uttrykte |FX|, uttrykker vi også |EX|. Lengden PX blir den samme, igjen y, og lengden PE blir lik x + e. Vi får:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Disse nye uttrykkene setter vi inn i den forrige likningen:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Nå ville det følge en stor haug med omforminger, til du til slutt fikk denne pene formen:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Denne likningen regner imidlertid med en ellipse med sentrum i origo. For å få en mer generell likning må vi også ta med koordinatene til sentrum i ellipsen. Ellipsen med sentrum i punktet (m, n) har likningen:

Hvis storaksen er parallell med x-aksen:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Hvis storaksen er parallell med y-aksen:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Eksempel: For at du skal tro at likningen virkelig fungerer, prøver vi å sette inn punktet X fra figuren. For figuren gjelder a = 5, b = 4 og X(2,31; 3,55) (koordinatene til punktet er avrundet, og resultatet må vi også til slutt runde av). Når vi setter inn i venstre del av likningen, får vi:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Vi fikk altså likheten 1 = 1.

Kalkulator

Skriv inn lengdene av store og lille halvakse. Arealet av ellipsen er π · a · b. Omkretsen av en ellipse kan ikke regnes ut med en nøyaktig formel, derfor bruker kalkulatoren Ramanujans tilnærmede formel, som bare avviker ubetydelig fra virkeligheten.