Ellipszis

Az ellipszis kúpszelet. Az ellipszis alapvető tulajdonsága, hogy az ellipszis minden pontjára igaz: a síkban megadott két ponttól mért távolságainak összege ugyanannyi. Ezeket a pontokat fókuszpontoknak nevezzük.

Hogyan néz ki az ellipszis

Adott két pont – E és F –, az e ellipszis fókuszpontjai. Ekkor az e ellipszis minden X pontjára teljesülnie kell, hogy

$$|XE|+|XF|=k,$$

ahol k valamilyen állandó szám. Ez a szám tehát az ellipszis minden pontjára ugyanaz. Ha E = F, akkor kört kapunk, és az |XE|+|XF| összeg egyenlő a kör átmérőjével (vagyis |XE|-nek a kör sugarának kell lennie). Az ellipszis ábrája:

A fókuszpontoktól mért távolságok azonos összege azt jelenti, hogy az |EK|+|FK| összegnek meg kell egyeznie az |EL|+|FL| összeggel, és ugyanígy az ellipszis minden más pontjára is.

Az ellipszis leírása és tulajdonságai

• Az ellipszisnek két fókuszpontja van, jelöljük őket E-vel és F-fel.
• Az ellipszisnek két főcsúcsa van, A és B, és két mellékcsúcsa, C és D.
• Az ellipszis középpontja, az ábrán az S pont, az EF szakasz felezőpontjában, vagyis a fókuszpontok között van.
• Azt az egyenest, amely a főcsúcsokon (és a fókuszpontokon is) áthalad, az ellipszis nagytengelyének nevezzük, a mellékcsúcsokon áthaladó egyenest pedig az ellipszis kistengelyének.
• Azt a szakaszt, amely valamelyik főcsúcsot köti össze az ellipszis középpontjával, nagy féltengelynek nevezzük. Az ábrán ezek az AS és BS szakaszok.
• Azt a szakaszt, amely valamelyik mellékcsúcsot köti össze az ellipszis középpontjával, kis féltengelynek nevezzük. Az ábrán ezek a CS és DS szakaszok.
• A k állandó, amely az ellipszis egy pontját a fókuszpontokkal összekötő szakaszok hosszának összegével egyenlő, megegyezik az AB szakasz hosszával. Ez jól látszik, ha kiszámítjuk az összeget a B pontra. A B pontra az összeg így néz ki: |FB|+|EB|. Az EB szakasz majdnem az egész AB szakaszt lefedi, a megmaradó rész, az AE szakasz pedig ugyanolyan hosszú, mint az FB szakasz. Ezért |FB|+|EB| = |AB|.

Az ellipszis excentricitása

Az ellipszis másik fontos állandója az excentricitás, jelöljük e-vel, más szóval külpontosság. Az excentricitás a fókuszpontok középponttól mért távolsága, vagyis e = |ES| = |FS|. Hogyan számíthatjuk ki az excentricitást? Először megállapítjuk, mivel egyenlő az |ED| és az |FD| távolság.

Tudjuk, hogy a k összeg egyenlő az |AB| hosszával. Az ábrán ráadásul látszik, hogy az ED és az FD szakasz egyforma hosszú, mert a CD egyenes az ellipszis tengelye. Mindkét szakasz hossza tehát az |AB| hosszának a fele, ami az ellipszis nagy féltengelyének hossza. Ha a nagy féltengely hosszát a-val, a kis féltengely hosszát pedig b-vel jelöljük, ezt az ábrát kapjuk:

Az excentricitást ezután a Pitagorasz-tétel segítségével fejezhetjük ki:

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Minél jobban hasonlít az ellipszis a körre, vagyis minél kevésbé lapított, annál kisebb az excentricitása.

Az ellipszis egyenlete

Hogyan vezethetjük le az ellipszis egyenletét? Először egy szép ellipszisre van szükségünk, ezért olyat választunk, amelynek nagy- és kistengelye párhuzamos az x és az y tengellyel, a középpontja pedig a koordináta-rendszer origójában van, vagyis a koordinátái (0; 0). Egy ilyen ellipszis például így néz ki:

A kérdés az, hogyan fejezzük ki általánosan az X pontot, amelyet az ábrán kék szín jelöl. Az ellipszis definíciója szerint teljesülnie kell:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Mivel az AB szakasz hossza az a nagy féltengely hosszának kétszerese, felírhatjuk:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Ezután valahogyan ki kell fejeznünk az EX és az FX szakasz hosszát. Az FX szakasszal kezdjük. Berajzolunk az ábrába még két szakaszt, hogy derékszögű háromszög keletkezzen.

Az X pont koordinátái (x; y), ezért a PX szakasz hossza egyenlő az X pont y koordinátájával, vagyis |PX| = y. A PF hossza |e − x|. A Pitagorasz-tétel szerint tehát teljesül:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Ahogyan az |FX|-et kifejeztük, ugyanúgy kifejezzük az |EX|-et is. A PX hossza ugyanaz lesz, megint y, a PE hossza pedig x + e. Kapjuk:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Ezeket az új kifejezéseket behelyettesítjük az előző egyenletbe:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Most egy nagy halom átalakítás következne, amelynek végén ezt a szép alakot kapnánk:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Ez az egyenlet azonban az origó középpontú ellipszisre vonatkozik. Hogy általánosabb egyenletet kapjunk, az egyenletbe be kell építenünk az ellipszis középpontjának koordinátáit is. Az (m; n) középpontú ellipszis egyenlete:

Ha a nagytengely párhuzamos az x tengellyel:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Ha a nagytengely párhuzamos az y tengellyel:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Példa: hogy elhidd, az egyenlet tényleg működik, próbáljuk meg behelyettesíteni az ábrán látható X pontot. Az ábrán a = 5, b = 4 és X(2,31; 3,55) (a pont koordinátái kerekítettek, ezért az eredményt is kerekítenünk kell). Az egyenlet bal oldalába behelyettesítve kapjuk:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Így az 1 = 1 egyenlőséget kaptuk.

Számológép

Add meg az ellipszis nagy és kis féltengelyének hosszát. Az ellipszis területe π · a · b. Az ellipszis kerületét pontos képlettel nem lehet kiszámítani, ezért a számológép Ramanujan közelítő képletét használja, amely a valóságtól csak kevéssé tér el.