Elips

Elips bir konik kesittir. Elipsin temel özelliği, elipsin her noktasının düzlemdeki verilen iki noktaya uzaklıkları toplamının aynı olmasıdır. Bu noktalara odak denir.

Elips nasıl görünür

E ve F noktaları, e elipsinin odakları olsun. Bu durumda e elipsinin her X noktası için

$$|XE|+|XF|=K,$$

olmalıdır; burada K sabit bir sayıdır. Bu sayı elipsin tüm noktaları için aynıdır. E = F ise çember elde ederiz ve |XE|+|XF| toplamı çemberin çapına eşittir (yani |XE| çemberin yarıçapı olmalıdır). Elipsin şekli:

Odaklara uzaklıkların toplamının aynı olması, |EK|+|FK| toplamının |EL|+|FL| toplamıyla aynı olması gerektiği anlamına gelir; elips üzerindeki diğer tüm noktalar için de böyledir.

Elipsin tanımı ve özellikleri

• Elipsin iki odağı vardır, bunlara E ve F diyelim.
• Elipste büyük eksenin uç noktaları olan iki nokta, A ve B, ve küçük eksenin uç noktaları olan iki nokta, C ve D, bulunur.
• Elipsin merkezi, şekilde S noktası, EF doğru parçasının orta noktasında, yani odakların arasında yer alır.
• Büyük eksenin uç noktalarından (ve aynı zamanda odaklardan) geçen doğruya elipsin büyük ekseni, küçük eksenin uç noktalarından geçen doğruya elipsin küçük ekseni denir.
• Büyük eksenin herhangi bir uç noktasını elipsin merkeziyle birleştiren doğru parçasına yarı büyük eksen denir. Şekilde bunlar AS ve BS doğru parçalarıdır.
• Küçük eksenin herhangi bir uç noktasını elipsin merkeziyle birleştiren doğru parçasına yarı küçük eksen denir. Şekilde bunlar CS ve DS doğru parçalarıdır.
• Elipsin bir noktasını odaklarla birleştiren doğru parçalarının uzunlukları toplamı olan K sabiti, AB doğru parçasının uzunluğuna eşittir. Bu, B noktası için toplamı hesaplamak istediğimizde güzelce görülür. B noktası için toplam |FB|+|EB| biçimindedir. EB doğru parçası AB doğru parçasının neredeyse tamamını kaplar, geriye kalan AE doğru parçası ise FB doğru parçasıyla aynı uzunluktadır. Bu yüzden |FB|+|EB| = |AB|.

Elipsin odak–merkez uzaklığı

Elipste bir diğer önemli sabit, e ile gösterdiğimiz odak–merkez uzaklığıdır. Bu, odakların merkeze uzaklığına eşittir, yani e = |ES| = |FS|. (Türkçe kaynaklarda “dışmerkezlik” veya “eksantrisite” genellikle bu uzaklığın yarı büyük eksene oranı olan e/a sayısını ifade eder; burada e yalnızca uzaklıktır.) Bu uzaklığı nasıl hesaplayabiliriz? Önce |ED| ve |FD| uzaklıklarının neye eşit olduğunu bulalım.

K toplamının |AB| uzunluğuna eşit olduğunu biliyoruz. Şekilden ED ve FD doğru parçalarının aynı uzunlukta olduğu da görülüyor, çünkü CD doğrusu elipsin eksenidir. Bu yüzden iki doğru parçasının uzunluğu da |AB| uzunluğunun yarısına, yani elipsin yarı büyük ekseninin uzunluğuna eşit olur. Yarı büyük eksenin uzunluğuna a, yarı küçük eksenin uzunluğuna b dersek şu şekli elde ederiz:

Odak–merkez uzaklığını artık Pisagor teoremi ile şöyle ifade edebiliriz:

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Elips çembere ne kadar çok benziyorsa, yani ne kadar az basıksa, odak–merkez uzaklığı o kadar küçüktür.

Elipsin denklemi

Elipsin denklemini nasıl çıkarırız? Önce güzel bir elipse ihtiyacımız var; o yüzden büyük ve küçük ekseni x ve y eksenlerine paralel olan ve merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında, yani koordinatları (0, 0) olan bir elips seçeriz. Böyle bir elips örneğin şöyle görünür:

Soru, şekilde mavi renkle gösterilen X noktasını genel olarak nasıl ifade edeceğimizdir. Elipsin tanımından

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

olması gerektiğini biliyoruz. AB doğru parçasının uzunluğu yarı büyük eksen a’nın iki katına eşit olduğundan şunu yazabiliriz:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Sonra EX ve FX doğru parçalarının uzunluğunu ifade etmemiz gerekir. FX doğru parçasıyla başlayalım. Şekle iki doğru parçası daha çizelim ki bir dik üçgen oluşsun.

X noktasının koordinatları (x, y) olduğundan PX doğru parçasının uzunluğu X noktasının y koordinatına, yani |PX| = y’ye eşittir. PF’nin uzunluğu |e − x|’tir. Pisagor teoremine göre

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

olmalıdır. |FX|’i nasıl ifade ettiysek |EX|’i de aynı şekilde ifade ederiz. PX’in uzunluğu yine y olacak, PE’nin uzunluğu ise x + e’ye eşit olacak. Şunu elde ederiz:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Bu yeni ifadeleri önceki denklemde yerine yazalım:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Bundan sonra büyük bir düzenleme yığını gelirdi ve sonunda şu güzel biçimi elde ederdin:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Ancak bu denklem merkezi başlangıç noktasında olan elips içindir. Daha genel bir denklem elde etmek için denkleme elipsin merkezinin koordinatlarını da katmamız gerekir. Merkezi (m, n) noktasında olan elipsin denklemi:

Büyük eksen x eksenine paralelse:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Büyük eksen y eksenine paralelse:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Örnek: denklemin gerçekten çalıştığına inanman için şekildeki X noktasını yerine yazmayı deneyelim. Şekil için a = 5, b = 4 ve X(2,31; 3,55)’tir (noktanın koordinatları yuvarlanmıştır, sonucu da sonunda yuvarlamamız gerekir). Denklemin sol tarafına yazınca şunu elde ederiz:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Böylece 1 = 1 eşitliğini elde ettik.

Hesap Makinesi

Büyük ve küçük yarı eksenlerin uzunluklarını gir. Elipsin alanı π · a · b’dir. Elipsin çevresi kesin bir formülle hesaplanamaz, bu yüzden hesap makinesi yaklaşık bir formül olan Ramanujan formülünü kullanır; bu formül gerçek değerden yalnızca çok az farklıdır.