Ellisse

L’ellisse è una sezione conica. La proprietà fondamentale dell’ellisse è che ogni suo punto ha la stessa somma delle distanze da due punti dati del piano. Questi punti si chiamano fuochi.

Che aspetto ha l’ellisse

Siano dati due punti, E e F, i fuochi dell’ellisse e. Allora per ogni punto X dell’ellisse e deve valere

$$|XE|+|XF|=K,$$

dove K è un numero costante. Questo numero è quindi lo stesso per tutti i punti dell’ellisse. Se E = F, otteniamo una circonferenza e |XE|+|XF| è uguale al diametro della circonferenza (cioè |XE| deve essere il raggio). La figura dell’ellisse:

La stessa somma delle distanze dai fuochi significa allora che la somma |EK|+|FK| deve essere uguale alla somma |EL|+|FL| e lo stesso vale per tutti gli altri punti dell’ellisse.

Descrizione e proprietà dell’ellisse

• L’ellisse ha due fuochi, che indichiamo con E e F.
• L’ellisse ha due vertici sull’asse maggiore, A e B, e due vertici sull’asse minore, C e D.
• Il centro dell’ellisse, nella figura il punto S, si trova nel punto medio del segmento EF, cioè tra i fuochi.
• La retta che passa per i vertici sull’asse maggiore (e anche per i fuochi) si chiama asse maggiore dell’ellisse, la retta che passa per i vertici sull’asse minore si chiama asse minore dell’ellisse.
• Il segmento che unisce un qualsiasi vertice sull’asse maggiore con il centro dell’ellisse si chiama semiasse maggiore. Nella figura sono i segmenti AS e BS.
• Il segmento che unisce un qualsiasi vertice sull’asse minore con il centro dell’ellisse si chiama semiasse minore. Nella figura sono i segmenti CS e DS.
• La costante K, uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti che uniscono un punto dell’ellisse ai fuochi, è uguale alla lunghezza del segmento AB. Lo si vede bene se calcoliamo la somma per il punto B. Per il punto B la somma ha la forma |FB|+|EB|. Il segmento EB copre quasi tutto il segmento AB e la parte restante, il segmento AE, è lungo quanto il segmento FB. Perciò |FB|+|EB| = |AB|.

Eccentricità dell’ellisse

Un’altra costante importante dell’ellisse è l’eccentricità (più precisamente eccentricità lineare), che indichiamo con e. L’eccentricità è uguale alla distanza dei fuochi dal centro dell’ellisse, cioè e = |ES| = |FS|. (Attenzione: nei libri di scuola italiani questa distanza si indica di solito con c e si chiama semidistanza focale, mentre l’eccentricità è il rapporto $\frac{c}{a}$, un numero tra 0 e 1. Qui, come nelle figure, la distanza la indichiamo con e.) Come possiamo calcolare l’eccentricità? Per prima cosa scopriamo a che cosa sono uguali le distanze |ED| e |FD|.

Sappiamo che la somma K è uguale alla lunghezza |AB|. Dalla figura inoltre si vede che i segmenti ED e FD hanno la stessa lunghezza, perché la retta CD è un asse dell’ellisse. La lunghezza di entrambi i segmenti è quindi uguale alla metà della lunghezza |AB|, che è la lunghezza del semiasse maggiore dell’ellisse. Se indichiamo con a la lunghezza del semiasse maggiore e con b la lunghezza del semiasse minore, otteniamo la figura:

L’eccentricità si può allora esprimere con il teorema di Pitagora come

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Quanto più l’ellisse somiglia a una circonferenza, cioè quanto meno è schiacciata, tanto minore è la sua eccentricità.

Equazione dell’ellisse

In che modo ricaviamo l’equazione dell’ellisse? Prima di tutto ci serve un’ellisse comoda, quindi scegliamo un’ellisse i cui assi, maggiore e minore, sono paralleli agli assi x e y e il cui centro si trova nell’origine del sistema di riferimento, cioè ha coordinate (0; 0). Un’ellisse così ha per esempio questo aspetto:

La domanda è come esprimere in generale il punto X, che nella figura è segnato in blu. Sappiamo che per la definizione di ellisse deve valere:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Poiché la lunghezza del segmento AB è uguale al doppio della lunghezza del semiasse maggiore a, possiamo scrivere:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Dobbiamo poi esprimere in qualche modo la lunghezza dei segmenti EX e FX. Cominciamo con il segmento FX. Aggiungiamo alla figura altri due segmenti in modo da ottenere un triangolo rettangolo.

Il punto X ha coordinate (x; y), quindi la lunghezza del segmento PX è uguale all’ordinata del punto X, cioè |PX| = y. La lunghezza PF è uguale a |e − x|. Per il teorema di Pitagora deve valere:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Come abbiamo espresso |FX|, esprimiamo anche |EX|. La lunghezza PX sarà la stessa, di nuovo y, e la lunghezza PE sarà uguale a x + e. Otteniamo:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Sostituiamo queste nuove espressioni nell’equazione precedente:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Ora seguirebbe una lunga serie di passaggi, fino ad arrivare a questa bella forma:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Questa equazione, però, vale per un’ellisse con il centro nell’origine. Per ottenere un’equazione più generale dobbiamo tenere conto anche delle coordinate del centro dell’ellisse. L’ellisse con il centro nel punto (m; n) ha equazione:

Se l’asse maggiore è parallelo all’asse x:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Se l’asse maggiore è parallelo all’asse y:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Esempio: perché tu creda che l’equazione funzioni davvero, proviamo a sostituire il punto X della figura. Per la figura vale a = 5, b = 4 e X(2,31; 3,55) (le coordinate del punto sono arrotondate, quindi anche il risultato alla fine dobbiamo arrotondarlo). Sostituendo nel primo membro dell’equazione otteniamo:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Abbiamo così ottenuto l’uguaglianza 1 = 1.

Calcolatrice

Inserisci le lunghezze del semiasse maggiore e del semiasse minore. L’area dell’ellisse è π · a · b. Il perimetro dell’ellisse non si può calcolare con una formula esatta, quindi la calcolatrice usa la formula approssimata di Ramanujan, che differisce dal valore vero solo di poco.