Faculteit

De faculteit van een getal n is gelijk aan het product van alle natuurlijke getallen die kleiner dan of gelijk aan n zijn. We schrijven de faculteit met een uitroepteken n!. Voor nul geldt: 0! = 1. De faculteit wordt vooral gebruikt in de combinatoriek, waar we er bijvoorbeeld permutaties mee berekenen. De faculteit van vijf is bijvoorbeeld 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definitie van de faculteit

We kunnen de faculteit op verschillende manieren definiëren. De eenvoudigste is waarschijnlijk deze:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{als n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{anders}\end{array}$$

We kunnen de definitie ook met een product geven:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Of nog met een integraal:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Rekenen met faculteiten

Met faculteiten rekenen we vaak in breuken. Daarbij gebruiken we het feit dat n! = n · (n − 1)!. Dit geldt volgens de definitie, en we laten het zien aan de hand van een voorbeeld. We weten dat de faculteit van vier, 4!, gelijk is aan het product van deze natuurlijke getallen: 4 · 3 · 2 · 1. Het product 3 · 2 · 1 is daarbij gelijk aan de faculteit van drie: 3 · 2 · 1 = 3!. De faculteit van vier kunnen we dan schrijven als 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Hierdoor kunnen we veel verschillende faculteiten in breuken efficiënt vereenvoudigen. Een voorbeeld: vereenvoudig de uitdrukking

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

We vereenvoudigen met de formule die ik zojuist noemde. In de teller kunnen we de faculteit splitsen in n · (n − 1)!, en dat kunnen we (volgens dezelfde formule) nog verder ontbinden in n · (n − 1) · (n − 2)!. Nu kunnen we de breuk mooi vereenvoudigen:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Nog een voorbeeld:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

En het laatste voorbeeld met faculteiten:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$