Algemene vergelijking van een lijn

De algemene vergelijking van een lijn vinden we uit de parametervoorstelling van de lijn door de parameter t weg te werken.

Motivatie

Weet je nog wat een lineaire functie is? De grafiek daarvan is precies een lijn. De basisvorm van een lineaire functie is y = ax + b. Kijk naar de lijn p die door de punten A(0, 3), B(2, 7) gaat:

We bepalen de lineaire functie waarvan de grafiek precies deze lijn p is. Deze lineaire functie heeft de vorm y = ax + b, en dat de lijn door het punt A(0, 3) gaat, zegt ons dat de functie voor x₁ = 0 de functiewaarde y₁ = 3 heeft. Er moet dus gelden a · 0 + b = 3. Omdat de lijn door het punt B(2, 7) gaat, heeft de functie voor x₂ = 2 de functiewaarde y₂ = 7, en er moet tegelijk gelden a · 2 + b = 7. We zoeken de coëfficiënten a, b. Zo ontstaat een stelsel vergelijkingen:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Uit de eerste vergelijking a · 0 + b = 3 vinden we gemakkelijk de coëfficiënt b, die dus gelijk is aan b = 3. Dit resultaat vullen we in de tweede vergelijking in, dus in de vergelijking a · 2 + b = 7 vullen we voor b het getal drie in:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

En we hebben beide coëfficiënten: a = 2, b = 3. De functie die de vorige lijn beschrijft, heeft de vorm y = 2x + 3. Als we voor x de waarde x = 1 invullen, krijgen we y = 2 + 3 = 5, wat overeenkomt met de grafiek van de lijn. De vorm y = 2x + 3 kunnen we nog zo omschrijven dat links alle termen met x en y staan en rechts alleen het constante getal, dus we trekken van beide kanten 2x af. Zo krijgen we de vergelijking:

$$-2x+y=3$$

Deze vergelijking heet de algemene vergelijking van de lijn.

Definitie van de algemene vergelijking van een lijn

De vorige werkwijze is een beetje omslachtig en bovendien niet bruikbaar als de lijn evenwijdig is aan de y-as, dus als hij verticaal is, want zo'n lijn beschrijft geen enkele functie. Daarom voeren we de algemene vergelijking van een lijn nog op een andere manier in. We zeggen dat elke lineaire vergelijking van de vorm

$$ax+by=c,$$

waarbij a,b,c ∈ ℝ en minstens een van de getallen a,b ≠ 0 is, een vergelijking van een lijn in het vlak is. Bovendien kunnen we elke lijn in het vlak in deze vorm schrijven. Deze vergelijking noemen we dan de algemene vergelijking van een lijn. We kunnen haar eenvoudig vinden uit de parametervoorstelling van een lijn. Als we een lijn hebben die beschreven wordt door de parametervoorstelling

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

vinden we de algemene vergelijking door de parameter t uit de parametervoorstelling weg te werken. Voorbeeld: we blijven bij de vorige lijn door de punten A(0, 3), B(2, 7). We bepalen de richtingsvector $\overrightarrow{u}$ uit het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(2,7)-(0,3)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$$

We kunnen lijn p met richtingsvector $\overrightarrow{u}$ nog eens bekijken:

We schrijven de parametervoorstelling met punt A en vector $\overrightarrow{u}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Om de algemene vergelijking te krijgen, moeten we deze twee vergelijkingen zo optellen dat de parameter t wegvalt. Eerst vermenigvuldigen we de eerste vergelijking met −2, de tweede veranderen we niet:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

En nu tellen we beide vergelijkingen op, waardoor we één vergelijking krijgen:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ -2x+y& =& 3\end{array}$$

Dit is de algemene vergelijking van lijn p. We zien dat we precies dezelfde vergelijking hebben gekregen als met de vorige werkwijze.

Waarvoor dient de algemene vergelijking van een lijn

De algemene vergelijking bepaalt alle punten die de lijn vormen. Als we in de algemene vergelijking van de vorm ax + by = c voor de onbekenden x,y zulke reële getallen invullen dat de vergelijking klopt, dan is (x, y) een punt van deze lijn. Laten we teruggaan naar de vorige lijn met de algemene vergelijking −2x + y = 3. Als we voor x,y de waarden x = 1, y = 5 invullen, krijgen we de vergelijking:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 1+5& =& 3\\ -2+5& =& 3\\ 3& =& 3\end{array}$$

Dat betekent dat het punt (1, 5) op de lijn ligt. Als we x = 2, y = 3 proberen in te vullen, krijgen we de vergelijking:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 2+3& {=}^{?}& 3\\ -4+3& {=}^{?}& 3\\ -1& \ne & 3\end{array}$$

De vergelijking klopt niet, het punt (2, 3) ligt niet op lijn p. Dat kunnen we ook in de tekening controleren:

Verticale lijn

We hebben al even aangestipt dat we de algemene vergelijking van een verticale lijn p niet zouden kunnen vinden met de werkwijze uit het eerste hoofdstuk, omdat een verticale lijn geen enkele functie beschrijft. Maar ook zo'n lijn heeft een algemene vergelijking, die we vinden met de werkwijze uit het vorige hoofdstuk.

We laten het zien aan de lijn die door de punten A(4, 2), B(4, 8) gaat. De richtingsvector $\overrightarrow{u}$ heeft de vorm:

$$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(4,8)-(4,2)=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\end{array}\right)$$

Tekening:

De parametervoorstelling met punt A en richtingsvector $\overrightarrow{u}$ ziet er zo uit:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Nu zouden we de parameter t moeten wegwerken. Maar de eerste vergelijking heeft ons al werk bespaard: in de eerste vergelijking komt geen parameter t voor, of eigenlijk is hij altijd nul, dus we kunnen deze hele vergelijking gebruiken als algemene vergelijking van lijn p. Lijn p heeft dus de algemene vergelijking

$$x=4$$

Dus de coëfficiënten a,b,c in de vergelijking ax + by = c zijn a = 1, b = 0, c = 4.

Horizontale lijn

We laten nog één voorbeeld zien, met een horizontale lijn die door de punten A(2, 1), B(5, 1) gaat. De richtingsvector $\overrightarrow{u}$ is gelijk aan:

$$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(5,1)-(2,1)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)$$

Tekening:

De parametervoorstelling met punt A ziet er zo uit:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Ook nu zien we dat we de parameter t niet hoeven weg te werken, omdat hij in de tweede vergelijking nul is. We kunnen dus meteen de tweede vergelijking gebruiken als algemene vergelijking van lijn p:

$$y=1$$