Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas de la recta eliminando el parámetro t.

Motivación

¿Te acuerdas de la función lineal? Su gráfica es precisamente una recta. La forma básica de la función lineal es y = mx + n. Fijémonos en la recta r que pasa por los puntos A(0, 3), B(2, 7):

Vamos a determinar la función lineal cuya gráfica es precisamente esta recta r. Esta función lineal tiene la forma y = mx + n; el hecho de que la recta pase por el punto A(0, 3) nos dice que en el punto x₁ = 0 la función toma el valor y₁ = 3. Por tanto, debe cumplirse la ecuación m · 0 + n = 3. Como la recta pasa por el punto B(2, 7), la función toma en el punto x₂ = 2 el valor y₂ = 7, y debe cumplirse a la vez la ecuación m · 2 + n = 7. Buscamos los coeficientes m, n. Obtenemos un sistema de ecuaciones:

$$\begin{array}{rcl}m\cdot 0+n& =& 3\\ m\cdot 2+n& =& 7\end{array}$$

De la primera ecuación m · 0 + n = 3 podemos obtener fácilmente el coeficiente n, que es igual a n = 3. Sustituimos este resultado en la segunda ecuación, es decir, en la ecuación m · 2 + n = 7 sustituimos n por el número tres:

$$\begin{array}{rcl}m\cdot 2+n& =& 7\\ m\cdot 2+3& =& 7\\ m\cdot 2& =& 4\\ m& =& 2\end{array}$$

Y ya tenemos los dos coeficientes: m = 2, n = 3. La función que describe la recta anterior tiene la forma y = 2x + 3. Si sustituimos x = 1, obtenemos y = 2 + 3 = 5, lo que coincide con la gráfica de la recta. La forma y = 2x + 3 todavía podemos reescribirla de modo que en el miembro derecho quede cero, es decir, sumamos a la ecuación −(2x + 3). Así obtenemos la ecuación:

$$y-2x-3=0$$

Esta ecuación se llama ecuación general de la recta.

Definición de la ecuación general de la recta

El procedimiento anterior es algo complicado y, además, no se puede usar cuando la recta es paralela al eje y, es decir, cuando es vertical, porque una recta así no describe ninguna función. Por eso introduciremos la ecuación general de la recta de otra manera. Decimos que toda ecuación lineal de la forma

$$ax+by+c=0,$$

donde a,b,c ∈ ℝ y al menos uno de los números a,b es distinto de 0, es la ecuación de una recta en el plano. Además, toda recta del plano se puede expresar de esta forma. Esta ecuación se llama entonces ecuación general de la recta. Podemos obtenerla fácilmente a partir de la forma paramétrica de la recta. Si la recta está descrita por las ecuaciones paramétricas

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

obtenemos la ecuación general eliminando el parámetro t de las ecuaciones paramétricas. Ejemplo: sigamos con la recta anterior, dada por los puntos A(0, 3), B(2, 7). Hallamos el vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a partir del segmento orientado $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Podemos volver a mirar la recta r con el vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

Expresamos las ecuaciones paramétricas respecto del punto A y del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Para obtener la ecuación general, tenemos que sumar estas dos ecuaciones de modo que se anule el parámetro t. Para ello multiplicamos primero la primera ecuación por −2 y dejamos la segunda sin cambiar:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Y ahora sumamos las dos ecuaciones, con lo que obtenemos una sola ecuación:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Esta es la ecuación general de la recta r. Vemos que hemos obtenido exactamente la misma ecuación que en el procedimiento anterior.

Para qué sirve la ecuación general de la recta

La ecuación general nos determina todos los puntos que forman la recta. Si en la ecuación general de la forma ax + by + c = 0 sustituimos las incógnitas x,y por números reales tales que la ecuación se cumpla, entonces (x, y) es un punto de esta recta. Volvamos a la recta anterior descrita por la ecuación general y − 2x − 3 = 0. Si sustituimos x,y por los valores x = 1, y = 5, obtenemos la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Esto significa que el punto (1, 5) está en la recta. Si probamos a sustituir x = 2, y = 3, obtenemos la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

La ecuación no se cumple: el punto (2, 3) no está en la recta r. Podemos comprobarlo también en la figura:

Recta vertical

Ya hemos adelantado que la ecuación general de una recta vertical r no podríamos obtenerla con el procedimiento descrito en el primer apartado, porque una recta vertical no describe ninguna función. Sin embargo, también una recta así tiene su ecuación general, que obtenemos con el procedimiento del apartado anterior.

Lo mostraremos con la recta que pasa por los puntos A(4, 2), B(4, 8). El vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tiene la forma:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Figura:

Las ecuaciones paramétricas respecto del punto A y del vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ serían así:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Ahora deberíamos eliminar el parámetro t. Sin embargo, la primera ecuación ya nos ha ahorrado trabajo: en la primera ecuación no hay ningún parámetro t, o mejor dicho, siempre vale cero, así que podemos usar toda esta ecuación como ecuación general de la recta r. La recta r tiene, pues, la ecuación general

$$x-4=0$$

Es decir, los coeficientes a,b,c de la ecuación ax + by + c = 0 son a = 1, b = 0, c = −4.

Recta horizontal

Veamos otro ejemplo, con una recta horizontal que pasa por los puntos A(2, 1), B(5, 1). El vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ será igual a:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Figura:

Las ecuaciones paramétricas de la recta respecto del punto A serían así:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

De nuevo vemos que no hace falta eliminar el parámetro t, porque en la segunda ecuación es nulo. Podemos usar directamente la segunda ecuación como ecuación general de la recta r:

$$y-1=0$$