Linjens ekvation på allmän form

Linjens ekvation på allmän form får vi från linjens parameterframställning genom att eliminera parametern t.

Motivation

Minns du den linjära funktionen? Dess graf är just en rät linje. Grundformen för en linjär funktion är y = kx + m. Vi tittar på linjen p som går genom punkterna A(0, 3), B(2, 7):

Vi bestämmer den linjära funktion vars graf är just linjen p. Funktionen har formen y = kx + m. Att linjen går genom punkten A(0, 3) säger oss att funktionen har funktionsvärdet y₁ = 3 för x₁ = 0. Då måste ekvationen k · 0 + m = 3 gälla. Eftersom linjen går genom punkten B(2, 7) har funktionen funktionsvärdet y₂ = 7 för x₂ = 2, så samtidigt måste ekvationen k · 2 + m = 7 gälla. Vi söker koefficienterna k, m. Det ger oss ett ekvationssystem:

$$\begin{array}{rcl}k\cdot 0+m& =& 3\\ k\cdot 2+m& =& 7\end{array}$$

Ur den första ekvationen k · 0 + m = 3 får vi enkelt koefficienten m, som alltså är m = 3. Det resultatet sätter vi in i den andra ekvationen, det vill säga i k · 2 + m = 7 sätter vi in talet tre för m:

$$\begin{array}{rcl}k\cdot 2+m& =& 7\\ k\cdot 2+3& =& 7\\ k\cdot 2& =& 4\\ k& =& 2\end{array}$$

Nu har vi båda koefficienterna: k = 2, m = 3. Funktionen som beskriver linjen har alltså formen y = 2x + 3. När vi sätter in x = 1 för x får vi y = 2 + 3 = 5, vilket stämmer med linjens graf. Formen y = 2x + 3 kan vi skriva om så att högerledet blir noll, det vill säga vi adderar −(2x + 3) till ekvationen. Då får vi ekvationen:

$$y-2x-3=0$$

Den här ekvationen kallas linjens ekvation på allmän form.

Definition av linjens ekvation på allmän form

Metoden ovan är lite omständlig, och den fungerar dessutom inte när linjen är parallell med y-axeln, alltså när den är vertikal, eftersom en sådan linje inte beskriver någon funktion. Därför inför vi linjens ekvation på allmän form på ett annat sätt. Vi säger att varje linjär ekvation på formen

$$ax+by+c=0,$$

där a,b,c ∈ ℝ och minst ett av talen a,b ≠ 0, är ekvationen för en linje i planet. Dessutom kan varje linje i planet skrivas på den här formen. Ekvationen kallar vi linjens ekvation på allmän form. Vi kan enkelt få fram den ur parameterframställningen. Om linjen är given av parameterframställningen

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

får vi ekvationen på allmän form genom att eliminera parametern t ur parameterframställningen. Exempel: vi håller oss till den förra linjen, given av punkterna A(0, 3), B(2, 7). Vi bestämmer riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ur den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Vi kan titta på linjen p med riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ igen:

Vi ställer upp parameterframställningen med utgångspunkt i punkten A och vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

För att få ekvationen på allmän form ska vi addera de två ekvationerna så att parametern t försvinner. Först multiplicerar vi den första ekvationen med −2 och låter den andra vara oförändrad:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Nu adderar vi de båda ekvationerna, så att vi får en enda ekvation:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Det här är den sökta ekvationen på allmän form för linjen p. Vi ser att vi fick precis samma ekvation som med den förra metoden.

Vad används ekvationen på allmän form till

Ekvationen på allmän form bestämmer alla punkter som bildar linjen. Om vi i ekvationen ax + by + c = 0 sätter in sådana reella tal för de obekanta x,y att ekvationen gäller, så är (x, y) en punkt på linjen. Vi går tillbaka till den förra linjen, beskriven av ekvationen y − 2x − 3 = 0. Om vi för x,y sätter in värdena x = 1, y = 5 får vi ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Det betyder att punkten (1, 5) ligger på linjen. Om vi i stället provar att sätta in x = 2, y = 3 får vi ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Ekvationen gäller inte, så punkten (2, 3) ligger inte på linjen p. Vi kan också kontrollera det i figuren:

Vertikal linje

Vi har redan nämnt att ekvationen på allmän form för en vertikal linje p inte går att få fram med metoden i det första avsnittet, eftersom en vertikal linje inte beskriver någon funktion. Men även en sådan linje har en ekvation på allmän form, som vi får fram med metoden i det föregående avsnittet.

Vi visar det på linjen som går genom punkterna A(4, 2), B(4, 8). Riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ är:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Figur:

Parameterframställningen med utgångspunkt i punkten A och riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ skulle se ut så här:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Nu skulle vi eliminera parametern t. Men den första ekvationen har redan sparat arbete åt oss: den innehåller ingen parameter t, eller rättare sagt, parametern multipliceras alltid med noll, så vi kan använda hela den ekvationen som ekvationen på allmän form för linjen p. Linjen p har alltså ekvationen

$$x-4=0$$

Koefficienterna a,b,c i ekvationen ax + by + c = 0 är alltså a = 1, b = 0, c = −4.

Horisontell linje

Vi visar ännu ett exempel, med en horisontell linje som går genom punkterna A(2, 1), B(5, 1). Riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ blir:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Figur:

Parameterframställningen av linjen med utgångspunkt i punkten A skulle se ut så här:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Återigen ser vi att vi inte behöver eliminera parametern t, eftersom den multipliceras med noll i den andra ekvationen. Vi kan alltså använda den andra ekvationen direkt som linjens ekvation på allmän form för p:

$$y-1=0$$