Az egyenes általános egyenlete

Az egyenes általános egyenletét az egyenes paraméteres egyenletéből kapjuk úgy, hogy kiküszöböljük a t paramétert.

Motiváció

Emlékszel a lineáris függvényre? Ennek a grafikonja éppen egyenes. A lineáris függvény alapalakja y = ax + b. Nézzük a p egyenest, amely átmegy az A(0; 3), B(2; 7) pontokon:

Meghatározzuk azt a lineáris függvényt, amelynek a grafikonja éppen ez a p egyenes. Ez a lineáris függvény y = ax + b alakú, és az, hogy az egyenes átmegy az A(0; 3) ponton, azt jelenti, hogy az x₁ = 0 helyen a függvény értéke y₁ = 3. Tehát teljesülnie kell az a · 0 + b = 3 egyenletnek. Mivel az egyenes átmegy a B(2; 7) ponton, az x₂ = 2 helyen a függvény értéke y₂ = 7, így egyúttal teljesülnie kell az a · 2 + b = 7 egyenletnek. Az a, b együtthatókat keressük. Egyenletrendszert kapunk:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Az első, a · 0 + b = 3 egyenletből könnyen megkapjuk a b együtthatót, amely tehát b = 3. Ezt az eredményt behelyettesítjük a második egyenletbe, vagyis az a · 2 + b = 7 egyenletbe b helyére hármat írunk:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

És megvan mindkét együttható: a = 2, b = 3. Az előző egyenest leíró függvény alakja y = 2x + 3. Ha x helyére az x = 1 értéket írjuk, y = 2 + 3 = 5 adódik, ami összhangban van az egyenes grafikonjával. Az y = 2x + 3 alakot még átírhatjuk úgy, hogy a jobb oldalon nulla legyen, vagyis az egyenlethez hozzáadjuk a −(2x + 3) kifejezést. Így kapjuk az egyenletet:

$$y-2x-3=0$$

Ezt az egyenletet nevezzük az egyenes általános egyenletének.

Az egyenes általános egyenletének definíciója

Az előző eljárás kissé bonyolult, ráadásul nem használható arra az esetre, amikor az egyenes párhuzamos az y tengellyel, azaz függőleges, mert az ilyen egyenes nem ír le semmilyen függvényt. Az egyenes általános egyenletét ezért még másképp is bevezetjük. Azt mondjuk, hogy minden

$$ax+by+c=0$$

alakú lineáris egyenlet, ahol a,b,c ∈ ℝ és az a,b számok közül legalább az egyik nem nulla, a síkban egy egyenes egyenlete. Ugyanakkor a sík minden egyenese kifejezhető ebben az alakban. Ezt az egyenletet az egyenes általános egyenletének nevezzük. Egyszerűen megkaphatjuk az egyenes paraméteres alakjából. Ha az egyenest a következő paraméteres egyenlet írja le:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

az általános egyenletet úgy kapjuk meg, hogy a paraméteres egyenletből kiküszöböljük a t paramétert. Példa: maradjunk az előző, az A(0; 3), B(2; 7) pontok által adott egyenesnél. Meghatározzuk az $\overrightarrow{u}$ irányvektort az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakaszból.

$$\overrightarrow{u}(u_1;u_2)=B-A=(2;7)-(0;3)=(2;4)$$

Megint megnézhetjük a p egyenest az $\overrightarrow{u}$ irányvektorral:

Felírjuk a paraméteres egyenletet az A pontra és az $\overrightarrow{u}$ vektorra vonatkozóan:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Hogy általános egyenletet kapjunk, úgy kell összeadnunk ezt a két egyenletet, hogy a t paraméter kiessen. Először tehát megszorozzuk az első egyenletet −2-vel, a másodikat nem változtatjuk:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

És most összeadjuk a két egyenletet, így egyetlen egyenletet kapunk:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Ez a p egyenes általános egyenlete. Látjuk, hogy pontosan ugyanazt az egyenletet kaptuk, mint az előző eljárással.

Mire jó az egyenes általános egyenlete

Az általános egyenlet megadja az egyenest alkotó összes pontot. Ha az ax + by + c = 0 alakú általános egyenletbe az x,y ismeretlenek helyére olyan valós számokat helyettesítünk, hogy az egyenlet teljesüljön, akkor (x; y) az egyenes egy pontja. Térjünk vissza az előző, y − 2x − 3 = 0 általános egyenlettel leírt egyeneshez. Ha x,y helyére az x = 1, y = 5 értékeket írjuk, ezt az egyenletet kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Ez azt jelenti, hogy az (1; 5) pont az egyenesen van. Ha az x = 2, y = 3 értékeket próbáljuk behelyettesíteni, ezt az egyenletet kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Az egyenlet nem teljesül, a (2; 3) pont nincs rajta a p egyenesen. Ellenőrizhetjük ezt az ábrán is:

Függőleges egyenes

Már utaltunk rá, hogy a p függőleges egyenes általános egyenletét nem kaphatnánk meg az első fejezetben leírt eljárással, mert a függőleges egyenes nem ír le semmilyen függvényt. Mégis van ilyen egyenesnek is általános egyenlete, amelyet az előző fejezetben bemutatott eljárással kapunk meg.

Megmutatjuk az A(4; 2), B(4; 8) pontokon átmenő egyenesen. Az $\overrightarrow{u}$ irányvektor alakja:

$$\overrightarrow{u}(u_1;u_2)=B-A=(4;8)-(4;2)=(0;6)$$

Ábra:

A paraméteres egyenlet az A pontra és az $\overrightarrow{u}$ irányvektorra vonatkozóan így nézne ki:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Most ki kellene küszöbölnünk a t paramétert. Az első egyenlet azonban már megspórolta nekünk a munkát: az első egyenletben nincs t paraméter, pontosabban mindig nullával van megszorozva, így ezt az egész egyenletet használhatjuk a p egyenes általános egyenleteként. A p egyenes általános egyenlete tehát

$$x-4=0$$

Vagyis az ax + by + c = 0 egyenletben az a,b,c együtthatók: a = 1, b = 0, c = −4.

Vízszintes egyenes

Mutatunk még egy példát, egy vízszintes egyenessel, amely átmegy az A(2; 1), B(5; 1) pontokon. Az $\overrightarrow{u}$ irányvektor:

$$\overrightarrow{u}(u_1;u_2)=B-A=(5;1)-(2;1)=(3;0)$$

Ábra:

Az egyenes paraméteres egyenlete az A pontra vonatkozóan így nézne ki:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Itt is látjuk, hogy nem kell kiküszöbölnünk a t paramétert, mert a második egyenletben nullával van megszorozva. A második egyenletet tehát közvetlenül használhatjuk a p egyenes általános egyenleteként:

$$y-1=0$$