Équation cartésienne de la droite

On obtient l'équation cartésienne d'une droite à partir de la représentation paramétrique de la droite en éliminant le paramètre t.

Motivation

Tu te souviens de la fonction affine ? Son graphe est justement une droite. La forme de base d'une fonction affine est y = ax + b. Regardons la droite p qui passe par les points A(0 ; 3), B(2 ; 7) :

Déterminons la fonction affine dont le graphe est cette droite p. Cette fonction a la forme y = ax + b. Le fait que la droite passe par le point A(0 ; 3) signifie que pour x₁ = 0 la fonction prend la valeur y₁ = 3, donc a · 0 + b = 3. Comme la droite passe aussi par le point B(2 ; 7), la fonction prend en x₂ = 2 la valeur y₂ = 7, donc a · 2 + b = 7. Nous cherchons les coefficients a, b. On obtient le système d'équations :

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

De la première équation a · 0 + b = 3, on obtient immédiatement le coefficient b, qui vaut donc b = 3. On substitue ce résultat dans la deuxième équation a · 2 + b = 7, où l'on remplace b par 3 :

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Nous avons les deux coefficients : a = 2, b = 3. La fonction qui décrit cette droite a donc pour expression y = 2x + 3. Pour x = 1, on obtient y = 2 + 3 = 5, ce qui correspond au graphe de la droite. On peut encore écrire y = 2x + 3 sous une forme où le membre de droite est nul, en ajoutant −(2x + 3) aux deux membres. On obtient :

$$y-2x-3=0$$

Cette équation s'appelle l'équation cartésienne de la droite.

Définition de l'équation cartésienne

La méthode précédente est un peu laborieuse et, de plus, elle ne fonctionne pas pour une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire pour une droite verticale, car une telle droite ne décrit aucune fonction. C'est pourquoi on introduit l'équation cartésienne d'une autre manière. On appelle équation de droite dans le plan toute équation du premier degré de la forme

$$ax+by+c=0,$$

où a,b,c ∈ ℝ et où au moins l'un des nombres a,b est différent de 0. Toute droite du plan peut s'écrire sous cette forme, et cette équation s'appelle l'équation cartésienne de la droite. On peut la déterminer facilement à partir de la représentation paramétrique de la droite. Si une droite est donnée par la représentation paramétrique

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

on obtient l'équation cartésienne en éliminant le paramètre t. Exemple : restons sur la droite précédente, déterminée par les points A(0 ; 3), B(2 ; 7). On détermine son vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ à partir du bipoint $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(2;7)-(0;3)=(2;4)$$

On peut revoir la droite p avec son vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ :

On écrit la représentation paramétrique par rapport au point A et au vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ :

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Pour obtenir l'équation cartésienne, il faut additionner ces deux équations de façon à éliminer le paramètre t. Multiplions d'abord la première équation par −2 et laissons la deuxième inchangée :

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Additionnons maintenant les deux équations, ce qui donne une seule équation :

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

C'est l'équation cartésienne finale de la droite p. On constate qu'elle est identique à celle obtenue par la méthode précédente.

À quoi sert l'équation cartésienne de la droite

L'équation cartésienne détermine tous les points qui forment la droite. Si, dans l'équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, on remplace les inconnues x,y par des nombres réels pour lesquels l'équation est vérifiée, alors (x ; y) est un point de cette droite. Reprenons la droite précédente, décrite par l'équation cartésienne y − 2x − 3 = 0. Si l'on remplace x,y par les valeurs x = 1, y = 5, on obtient l'égalité :

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Le point (1 ; 5) est donc situé sur la droite. Essayons maintenant x = 2, y = 3 :

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

L'égalité n'est pas vérifiée : le point (2 ; 3) n'appartient pas à la droite p. On peut le vérifier sur la figure :

Droite verticale

Nous avons déjà relevé qu'on ne peut pas obtenir l'équation cartésienne d'une droite verticale p par la procédure de la section « Motivation », car une droite verticale ne décrit aucune fonction. Elle a pourtant une équation cartésienne, que l'on obtient par la procédure de la section précédente.

Montrons-le sur la droite qui passe par les points A(4 ; 2), B(4 ; 8). Son vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ est :

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(4;8)-(4;2)=(0;6)$$

Figure :

La représentation paramétrique par rapport au point A et au vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ serait :

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Il faudrait maintenant éliminer le paramètre t. Mais la première équation nous fait déjà gagner du temps : elle ne contient pas de paramètre t, ou plutôt celui-ci y est toujours nul. On peut donc utiliser directement cette équation comme équation cartésienne de la droite p :

$$x-4=0$$

Les coefficients a,b,c de l'équation ax + by + c = 0 valent donc a = 1, b = 0, c = −4.

Droite horizontale

Voyons encore un exemple avec une droite horizontale qui passe par les points A(2 ; 1), B(5 ; 1). Son vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vaut :

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(5;1)-(2;1)=(3;0)$$

Figure :

La représentation paramétrique de la droite par rapport au point A serait :

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Là encore, il n'est pas nécessaire d'éliminer le paramètre t, puisqu'il est nul dans la deuxième équation. On peut donc utiliser directement cette équation comme équation cartésienne de la droite p :

$$y-1=0$$