Likningen for en linje på formen ax + by + c = 0

Den generelle likningen for en linje får vi fra parameterframstillingen for en linje ved å fjerne parameteren t.

Motivasjon

Husker du lineære funksjoner? Grafen til en slik funksjon er nettopp en linje. Den grunnleggende formen til en lineær funksjon er y = ax + b. La oss se på linjen p som går gjennom punktene A(0, 3), B(2, 7):

Vi bestemmer den lineære funksjonen som har akkurat denne linjen p som graf. Den lineære funksjonen har formen y = ax + b. At linjen går gjennom punktet A(0, 3), forteller oss at funksjonen har funksjonsverdien y₁ = 3 for x₁ = 0. Dermed må likningen a · 0 + b = 3 gjelde. Siden linjen går gjennom punktet B(2, 7), har funksjonen funksjonsverdien y₂ = 7 for x₂ = 2, og samtidig må likningen a · 2 + b = 7 gjelde. Vi leter etter koeffisientene a, b. Dermed får vi et likningssett:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Fra den første likningen a · 0 + b = 3 finner vi lett koeffisienten b, som er b = 3. Dette resultatet setter vi inn i den andre likningen, altså setter vi tallet tre inn for b i likningen a · 2 + b = 7:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Nå har vi begge koeffisientene: a = 2, b = 3. Funksjonen som beskriver den forrige linjen, har formen y = 2x + 3. Når vi setter inn x = 1, får vi y = 2 + 3 = 5, og det stemmer med grafen til linjen. Formen y = 2x + 3 kan vi skrive om slik at høyre side blir null, altså ved å legge −(2x + 3) til begge sider. Da får vi likningen:

$$y-2x-3=0$$

Denne likningen kalles den generelle likningen for en linje.

Definisjon av likningen for en linje på formen ax + by + c = 0

Framgangsmåten ovenfor er litt tungvint, og dessuten kan vi ikke bruke den når linjen er parallell med y-aksen, altså er vertikal, fordi en slik linje ikke beskriver noen funksjon. Derfor innfører vi den generelle likningen for en linje på en annen måte. Vi sier at hver lineær likning på formen

$$ax+by+c=0,$$

der a,b,c ∈ ℝ og minst ett av tallene a,b er forskjellig fra null, er likningen for en linje i planet. Hver linje i planet kan uttrykkes på denne formen. Denne likningen kaller vi den generelle likningen for en linje. Vi kan lett finne den fra parameterframstillingen for linjen. Hvis vi har en linje beskrevet ved parameterframstillingen

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

finner vi den generelle likningen ved å fjerne parameteren t fra parameterframstillingen. Eksempel: la oss holde oss til den forrige linjen gitt ved punktene A(0, 3), B(2, 7). Vi finner retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ fra det rettede linjestykket $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2]=B-A=(2,7)-(0,3)=[2,4]$$

Vi kan se på linjen p med retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ en gang til:

Vi skriver parameterframstillingen med utgangspunkt i punktet A og vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

For å få den generelle likningen må vi legge sammen disse to likningene slik at parameteren t faller bort. Først multipliserer vi den første likningen med −2 og lar den andre være uendret:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Nå legger vi sammen de to likningene, og da får vi én likning:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Dette er den generelle likningen for linjen p. Vi ser at vi fikk akkurat den samme likningen som med den forrige framgangsmåten.

Hva brukes den generelle likningen til

Den generelle likningen bestemmer alle punktene som danner linjen. Hvis vi i likningen på formen ax + by + c = 0 setter inn slike reelle tall for de ukjente x,y at likningen stemmer, er (x, y) et punkt på denne linjen. La oss gå tilbake til den forrige linjen, beskrevet ved likningen y − 2x − 3 = 0. Hvis vi setter inn verdiene x = 1, y = 5 for x,y, får vi likningen:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Det betyr at punktet (1, 5) ligger på linjen. Når vi prøver å sette inn x = 2, y = 3, får vi likningen:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Likningen stemmer ikke, så punktet (2, 3) ligger ikke på linjen p. Vi kan også kontrollere det på figuren:

Vertikal linje

Vi har allerede nevnt at den generelle likningen for en vertikal linje p ikke kan finnes med framgangsmåten fra første kapittel, fordi en vertikal linje ikke beskriver noen funksjon. Men også en slik linje har en generell likning, og den finner vi med framgangsmåten fra forrige kapittel.

Vi viser det på linjen som går gjennom punktene A(4, 2), B(4, 8). Retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har formen:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2]=B-A=(4,8)-(4,2)=[0,6]$$

Figur:

Parameterframstillingen med utgangspunkt i punktet A og retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ville sett slik ut:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Nå skulle vi fjerne parameteren t. Men den første likningen har allerede spart oss for arbeid: den inneholder ingen parameter t, eller rettere sagt er t alltid multiplisert med null, så vi kan bruke hele denne likningen som den generelle likningen for linjen p. Linjen p har dermed den generelle likningen

$$x-4=0$$

Koeffisientene a,b,c i likningen ax + by + c = 0 er altså a = 1, b = 0, c = −4.

Horisontal linje

Vi viser enda et eksempel, med en horisontal linje som går gjennom punktene A(2, 1), B(5, 1). Retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ blir:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2]=B-A=(5,1)-(2,1)=[3,0]$$

Figur:

Parameterframstillingen for linjen med utgangspunkt i punktet A ville sett slik ut:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Igjen ser vi at vi ikke trenger å eliminere parameteren t, for i den andre likningen er den multiplisert med null. Vi kan derfor bruke den andre likningen direkte som den generelle likningen for linjen p:

$$y-1=0$$