Γενική εξίσωση ευθείας

Τη γενική εξίσωση ευθείας τη βρίσκουμε από τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας απαλείφοντας την παράμετρο t.

Κίνητρο

Θυμάσαι τη γραμμική συνάρτηση; Η γραφική της παράσταση είναι ακριβώς ευθεία. Η βασική μορφή της γραμμικής συνάρτησης είναι y = λ x + β. Ας δούμε την ευθεία ε που περνά από τα σημεία A(0, 3), B(2, 7):

Θα βρούμε τη γραμμική συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση ακριβώς αυτή την ευθεία ε. Αυτή η γραμμική συνάρτηση έχει τη μορφή y = λ x + β, και το ότι η ευθεία περνά από το σημείο A(0, 3) μας λέει ότι στο σημείο x₁ = 0 η συνάρτηση έχει τιμή y₁ = 3. Πρέπει λοιπόν να ισχύει η εξίσωση λ · 0 + β = 3. Επειδή η ευθεία περνά από το σημείο B(2, 7), η συνάρτηση στο σημείο x₂ = 2 έχει τιμή y₂ = 7, και πρέπει ταυτόχρονα να ισχύει η εξίσωση λ · 2 + β = 7. Εμείς ψάχνουμε τους συντελεστές λ, β. Προκύπτει το σύστημα εξισώσεων:

$$\begin{array}{rcl}\lambda \cdot 0+\beta & =& 3\\ \lambda \cdot 2+\beta & =& 7\end{array}$$

Από την πρώτη εξίσωση λ · 0 + β = 3 βρίσκουμε εύκολα τον συντελεστή β, που είναι ίσος με β = 3. Αυτό το αποτέλεσμα το αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση, δηλαδή στην εξίσωση λ · 2 + β = 7 βάζουμε στη θέση του β τον αριθμό τρία:

$$\begin{array}{rcl}\lambda \cdot 2+\beta & =& 7\\ \lambda \cdot 2+3& =& 7\\ \lambda \cdot 2& =& 4\\ \lambda & =& 2\end{array}$$

Και έχουμε και τους δύο συντελεστές: λ = 2, β = 3. Η συνάρτηση που περιγράφει την προηγούμενη ευθεία έχει τη μορφή y = 2x + 3. Όταν στη θέση του x βάλουμε x = 1, παίρνουμε y = 2 + 3 = 5, που συμφωνεί με τη γραφική παράσταση της ευθείας. Τη μορφή y = 2x + 3 μπορούμε ακόμα να την ξαναγράψουμε έτσι ώστε στο δεξί μέλος να υπάρχει μηδέν, δηλαδή προσθέτουμε στην εξίσωση −(2x + 3). Έτσι παίρνουμε την εξίσωση:

$$y-2x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση λέγεται γενική εξίσωση ευθείας.

Ορισμός της γενικής εξίσωσης ευθείας

Η προηγούμενη διαδικασία είναι κάπως περίπλοκη και επιπλέον δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y, δηλαδή όταν είναι κατακόρυφη, επειδή μια τέτοια ευθεία δεν περιγράφει καμία συνάρτηση. Γι᾽ αυτό τη γενική εξίσωση ευθείας την εισάγουμε και με έναν άλλο τρόπο. Λέμε ότι κάθε γραμμική εξίσωση της μορφής

$$Ax+By+\Gamma =0,$$

όπου A, B, Γ ∈ ℝ και τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς A, B είναι διάφορος του μηδενός, είναι εξίσωση ευθείας στο επίπεδο. Μάλιστα κάθε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να εκφραστεί σε αυτή τη μορφή. Αυτή την εξίσωση τη λέμε γενική εξίσωση ευθείας. Μπορούμε να τη βρούμε εύκολα από την παραμετρική μορφή ευθείας. Αν έχουμε ευθεία που περιγράφεται από τις παραμετρικές εξισώσεις

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

βρίσκουμε τη γενική εξίσωση απαλείφοντας την παράμετρο t από τις παραμετρικές εξισώσεις. Παράδειγμα: μένουμε στην προηγούμενη ευθεία που δίνεται από τα σημεία A(0, 3), B(2, 7). Βρίσκουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$ από το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Μπορούμε να ξαναδούμε την ευθεία ε με το διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$:

Γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις ως προς το σημείο A και το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Για να πάρουμε τη γενική εξίσωση, πρέπει να προσθέσουμε αυτές τις δύο εξισώσεις έτσι ώστε να απαλειφθεί η παράμετρος t. Πρώτα λοιπόν πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με −2, τη δεύτερη την αφήνουμε όπως είναι:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Και τώρα προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις, οπότε παίρνουμε μία εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Αυτή είναι η γενική εξίσωση της ευθείας ε. Βλέπουμε ότι πήραμε ακριβώς την ίδια εξίσωση όπως με την προηγούμενη διαδικασία.

Σε τι χρησιμεύει η γενική εξίσωση ευθείας

Η γενική εξίσωση καθορίζει όλα τα σημεία που αποτελούν την ευθεία. Αν στη γενική εξίσωση της μορφής Ax + By+Γ = 0 αντικαταστήσουμε στη θέση των αγνώστων x,y τέτοιους πραγματικούς αριθμούς ώστε η εξίσωση να ισχύει, τότε το (x, y) είναι σημείο αυτής της ευθείας. Ας γυρίσουμε στην προηγούμενη ευθεία που περιγράφεται από τη γενική εξίσωση y − 2x − 3 = 0. Αν στη θέση των x,y αντικαταστήσουμε τις τιμές x = 1, y = 5, παίρνουμε την εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Αυτό σημαίνει ότι το σημείο (1, 5) βρίσκεται πάνω στην ευθεία. Αν δοκιμάσουμε να αντικαταστήσουμε x = 2, y = 3, παίρνουμε την εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Η εξίσωση δεν ισχύει, το σημείο (2, 3) δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε. Μπορούμε να το ελέγξουμε και στο σχήμα:

Κατακόρυφη ευθεία

Είπαμε ήδη ότι τη γενική εξίσωση κατακόρυφης ευθείας ε δεν θα μπορούσαμε να τη βρούμε με τη διαδικασία που περιγράφηκε στην πρώτη ενότητα, επειδή η κατακόρυφη ευθεία δεν περιγράφει καμία συνάρτηση. Παρ᾽ όλα αυτά και μια τέτοια ευθεία έχει τη γενική της εξίσωση, που τη βρίσκουμε με τη διαδικασία της προηγούμενης ενότητας.

Θα το δείξουμε σε ευθεία που περνά από τα σημεία A(4, 2), B(4, 8). Το διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$ έχει τη μορφή:

$$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Σχήμα:

Οι παραμετρικές εξισώσεις ως προς το σημείο A και το διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$ θα είχαν την εξής μορφή:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Τώρα θα έπρεπε να απαλείψουμε την παράμετρο t. Όμως η πρώτη εξίσωση μας γλίτωσε ήδη τον κόπο, στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει καμία παράμετρος t, ή μάλλον είναι πάντα μηδενική, οπότε ολόκληρη αυτή την εξίσωση μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε ως γενική εξίσωση της ευθείας ε. Η ευθεία ε έχει λοιπόν γενική εξίσωση

$$x-4=0$$

Δηλαδή οι συντελεστές A,B,Γ στην εξίσωση Ax + By + Γ = 0 είναι ίσοι με A = 1, B = 0, Γ = −4.

Οριζόντια ευθεία

Θα δείξουμε ακόμα ένα παράδειγμα, με οριζόντια ευθεία που περνά από τα σημεία A(2, 1), B(5, 1). Το διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$ θα είναι ίσο με:

$$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Σχήμα:

Οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας ως προς το σημείο A θα είχαν την εξής μορφή:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Και πάλι βλέπουμε ότι δεν χρειάζεται να απαλείψουμε την παράμετρο t, επειδή στη δεύτερη εξίσωση είναι μηδενική. Μπορούμε έτσι να χρησιμοποιήσουμε απευθείας τη δεύτερη εξίσωση ως γενική εξίσωση της ευθείας ε:

$$y-1=0$$