Suoran yleinen yhtälö

Suoran yleinen yhtälö saadaan suoran parametriesityksestä poistamalla parametri t.

Johdanto

Muistatko lineaarisen funktion? Sen kuvaaja on nimenomaan suora. Lineaarisen funktion perusmuoto on y = ax + b. Katsotaan suoraa p, joka kulkee pisteiden A = (0, 3), B = (2, 7) kautta:

Määritetään lineaarinen funktio, jonka kuvaaja on juuri tämä suora p. Tämän lineaarisen funktion muoto on y = ax + b, ja se, että suora kulkee pisteen A = (0, 3) kautta, kertoo meille, että kohdassa x₁ = 0 funktion arvo on y₁ = 3. Täytyy siis päteä yhtälö a · 0 + b = 3. Koska suora kulkee pisteen B = (2, 7) kautta, funktion arvo kohdassa x₂ = 2 on y₂ = 7, ja samalla täytyy päteä yhtälö a · 2 + b = 7. Etsimme kertoimia a, b. Syntyy yhtälöryhmä:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Ensimmäisestä yhtälöstä a · 0 + b = 3 saadaan helposti kerroin b, joka on b = 3. Sijoitetaan tämä tulos toiseen yhtälöön eli yhtälöön a · 2 + b = 7 luvun b paikalle luku kolme:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Nyt meillä on molemmat kertoimet: a = 2, b = 3. Edellistä suoraa kuvaavan funktion muoto on y = 2x + 3. Kun sijoitamme x:n paikalle x = 1, saamme y = 2 + 3 = 5, mikä täsmää suoran kuvaajan kanssa. Muodon y = 2x + 3 voi vielä kirjoittaa niin, että oikealla puolella on nolla, eli lisätään yhtälöön −(2x + 3). Näin saadaan yhtälö:

$$y-2x-3=0$$

Tätä yhtälöä sanotaan suoran yleiseksi yhtälöksi.

Suoran yleisen yhtälön määritelmä

Edellinen menettely on hieman monimutkainen, eikä sitä lisäksi voi käyttää, kun suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa eli pystysuora, koska tällainen suora ei kuvaa mitään funktiota. Siksi otamme suoran yleisen yhtälön käyttöön vielä toisella tavalla. Sanomme, että jokainen muotoa

$$ax+by+c=0,$$

oleva ensimmäisen asteen yhtälö, missä a,b,c ∈ ℝ ja ainakin toinen luvuista a,b ≠ 0, on tason suoran yhtälö. Lisäksi jokainen tason suora voidaan esittää tässä muodossa. Tätä yhtälöä sanotaan suoran yleiseksi yhtälöksi. Sen saa helposti selville suoran parametriesityksestä. Jos suora on annettu parametriyhtälöllä

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

yleinen yhtälö saadaan poistamalla parametriyhtälöstä parametri t. Esimerkki: jatketaan edellisellä suoralla, joka on annettu pisteillä A = (0, 3), B = (2, 7). Määritetään suuntavektori $\overline{u}$ suunnatusta janasta $\overrightarrow{AB}$.

$$\overline{u}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Voimme katsoa uudelleen suoraa p ja sen suuntavektoria $\overline{u}$:

Kirjoitetaan parametriyhtälö pisteen A ja vektorin $\overline{u}$ avulla:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Jotta saamme yleisen yhtälön, meidän täytyy laskea nämä kaksi yhtälöä yhteen niin, että parametri t kumoutuu. Kerrotaan siksi ensin ensimmäinen yhtälö luvulla −2 ja jätetään toinen ennalleen:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Lasketaan nyt yhtälöt yhteen, jolloin saadaan yksi yhtälö:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Tämä on suoran p yleinen yhtälö. Näemme, että saimme täsmälleen saman yhtälön kuin edellisellä menettelyllä.

Mihin suoran yleistä yhtälöä tarvitaan

Yleinen yhtälö määrää kaikki suoran pisteet. Jos yleiseen yhtälöön ax + by + c = 0 sijoitetaan tuntemattomien x,y paikalle sellaiset reaaliluvut, että yhtälö pätee, niin (x, y) on tämän suoran piste. Palataan edelliseen suoraan, jonka yleinen yhtälö on y − 2x − 3 = 0. Jos sijoitamme x,y:n paikalle arvot x = 1, y = 5, saamme yhtälön:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Tämä tarkoittaa, että piste (1, 5) on suoralla. Kun kokeilemme sijoittaa x = 2, y = 3, saamme yhtälön:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Yhtälö ei päde, piste (2, 3) ei ole suoralla p. Voimme tarkistaa sen myös kuvasta:

Pystysuora

Mainitsimme jo, että pystysuoran p yleistä yhtälöä ei voisi saada ensimmäisessä luvussa kuvatulla menettelyllä, koska pystysuora ei kuvaa mitään funktiota. Silti sellaisellakin suoralla on yleinen yhtälönsä, jonka saamme edellisessä luvussa esitetyllä menettelyllä.

Näytetään se suoralla, joka kulkee pisteiden A = (4, 2), B = (4, 8) kautta. Suuntavektori $\overline{u}$ on

$$\overline{u}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Kuva:

Parametriyhtälö pisteen A ja suuntavektorin $\overline{u}$ avulla olisi seuraava:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Nyt meidän pitäisi poistaa parametri t. Ensimmäinen yhtälö on kuitenkin jo säästänyt meiltä vaivaa: ensimmäisessä yhtälössä ei ole parametria t lainkaan, tai oikeammin se on aina nolla, joten voimme käyttää koko tätä yhtälöä suoran p yleisenä yhtälönä. Suoran p yleinen yhtälö on siis

$$x-4=0$$

Yhtälön ax + by + c = 0 kertoimet a,b,c ovat siis a = 1, b = 0, c = −4.

Vaakasuora

Näytetään vielä yksi esimerkki, vaakasuora, joka kulkee pisteiden A = (2, 1), B = (5, 1) kautta. Suuntavektori $\overline{u}$ on

$$\overline{u}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Kuva:

Suoran parametriyhtälö pisteen A avulla olisi seuraava:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Taas näemme, ettei parametria t tarvitse eliminoida, koska se on toisessa yhtälössä nolla. Voimme siis käyttää suoraan toista yhtälöä suoran p yleisenä yhtälönä:

$$y-1=0$$